T— —0 OURS
Au point B où il coupe Oy on a x —0, z—0 et, par suite,
Tel OMOURUY EU:
Enfin au point C où le plan coupe Ozona:x—o y —=0 et l'équation donne :
Pt eiOS OÙ 1:27 2%.
272*. Plans parallèles. — Soient:
ax + by +cz:+d—=o, (1) a'x+ b'y+c'z + d'—=o, (2)
les équations de deux plans. Pour qu'ils soient parallèles, il faut et il suffit que les perpendiculaires abaissées de l’origine sur ces deux plans coïncident et pour cela que ces deux perpendiculaires fassent les mêmes angles avec les axes.
Or, si la perpendiculaire abaissée de O sur le premier plan fait avec les axes les angles x, b, y on a, comme nous l'avons
vu (n°s 267 et 268*)
a b COS QG — ————"—, COS Ê = —, Va+bTEe Var Fe COS ‘fi RS fn go em Va ++
De même, 4, ©, y! étant les angles que fait la perpendicu-
COURS DE MA THÉMA 71e UES.
ie au second plan avec Léé axes, ON à :
Va? + D? + 2 pre E AL es SA
COS y —= 2 —— Va” L"h'2
cos æ—
Pour que ces plans soient parallèles, il faut avoir 3 . : ñ
PRE CE av
COS 4 — cos LIN COS PCs (sp cos ie cos y. Œ
ce qui donne :
| es Va + b+ . Verre AE be b'
C | li FA
Var Lie var
On en conclut
— Vel VETEES
En d’autres termes :
Ne sue deux ne sortent parallèles, il He et il sie
D ER RE 4x + 27 — 25 +1
sont parallèles car on a bien :
274" Application.— L'équation du plan parallèle à un plan donné et passant par l'origine s'obtient en supprimant dans l'équation de ce plan le terme constant.
En effet le plan
ax + by + cz —=0 est bien parallèle au plan
ax +by+cz:+d—=o
et il passe à l’origine, car il est vérifié par les coordonnées MON = 0,20 1de l'origine.
215. Équations d'une droite. — Une droite est l'intersection de deux plans. Si donc
CAT br Cz + d— 0,
( ax + b'y + cz+ d'— oo, (1)
sont les équations des deux plans, les coordonnées x, y, d'un point quelconque de la droite vérifient ces deux équations. Inversement, tout point dont les coordonnées satisfont, simultanément, aux deux équations (1) est situé à la fois dans les deux plans et, par suite, sur la droite.
Les deux équations (1) sont donc les équations de la droite. |
Au lieu de prendre deux plans quelconques pour définir une droite il est, en général, plus simple de prendre deux des plans qui projettent la droite sur les plans de coordonnées. |
2176. Droite quelconque. — On définira une droite quelconque par le plan vertical qui la projette horizontalement et le plan de bout qui la SA verticalement.
Les équations de la droite seront, alors,
çy —ax+b (plan vertical), {z—cx+d (plan de bout).
On peut remarquer que y — aX + b est aussi l'équation de la projection horizontale de la droite, et que z— cx + d'est l'équation de sa projection verticale ; car nous avons vu (n°266) que l'équation d’un plan perpendiculaire à un plan de projection est identique à celle de sa trace sur ce plan.
217. Droites parallèles aux plans de projection. — Lorsqu'une droite est parallèle à l’un des plans de projection, les deux plans qui la projettent sur les deux autres plans de projection sont confondus en un Seul. La droite est donc définie par ce plan et celui qui la projette sur le plan auquel elle est paral-
lèle.
278. Droite horizontale. — Une droite horizontale est l'intersection d’un plan horizontal et d’un plan vertical. Les équations sont de la forme :
ee
— ax + b ‘(plan vertical),
Pl. 0 t1
te (plan horizontal).
219. Droite de front. — Une droite de front est l’intersection d'un plan de front et d’un plan de bout ; elle a donc deux équations de la forme :
(-z —ax+ 0". (plan de bout), PE (plan de front).
280. Droite de profil. — Une droite de profil est l'intersection d’un plan de profil et d’un plan parallèle à la ligne de terre Ox. Ses deux équations auront donc la forme :
(y —= az + b (plan parallèle a Ox),
lx— 0, (plan de profil).
281. Droites parallèles aux axes. — Lorsqu'une droite est parallèle à un axe, elle est perpendiculaire à un plan de coordonnées ; tous les points de cette droite se projettent alors sur ce plan au même point qui est la trace de Îa droite.
282. Verticale. — Tout point M d’une verticale a même abscisse et même éloignement que sonpied A (fig. 86) dans le plan xOy.
Si donc «a, b, sont les coordonnées du point À, on a pour tout point M de la droite :
Lit, 1P=e 0" ce sont les équations de la Fig. S6.
droite.
Ces deux équations représentent aussi deux plans l’un de profil, l’autre de front qui se coupent suivant la verticale,
283. Droite de bout. — Tout point N (fig. 86) d’une droite de bout a même abscisse et même cote que le pied B de cette droite sur le plan x0z. Si donc c et d sont les coordonnées de B, on a, pour tout point de
la droite,
ce sont les équations de la droite.
Ces deux équations sont aussi celles d'un plan de profil et d'un plan horizontal qui se coupent suivant | la droite.
284. Droite parallèle à Ox. — Tout point P (fig. 86) d’une parallèle à Ox a même éloignement et même cote que son pied C dans le plan y0z. Les équations | de la droite sont donc
