AO T'Y
où # désigne un entier positif ou négatif. Les valeurs de z sont les diverses branches de la fonction arc cosx.
67". Dérivée de arc cosx. — D'après la définition qui précède, l'égalité ME ATC COST (x) équivaut à l'égalité COM LC. (2)
Prenons les différentielles des deux membres de l'égalité (2).
Il vient :
— sin y. dy = dx, d'où on tire :
“dx — sin ÿ
Re pag OO LEE be 14e EN PE ON OT er CON REA EN OT PRE ES ES NPC ES % Rx * SUUAS vers CNE WT er
46 COURS DE MATHÉMATIQUES Or, ‘or a : | SinapE DE Vi —cos? y:
et, en vertu de l'égalité (2),
ue
sy Var iv, on-en conclut
dy Ex I
ER EnE Vi Une
Le
AE I La dérivée de arc cos x est donc = Frpane Lente Si on prend pour y l'arc compris entre o et x, son sinus est positif et on doit prendre le signe (—) devant le radical. Pour une autre branche de la fonction le signe à choisir serait (—) ou {+) suivant qu'elle est de la forme 247 + y ou
2kT y.
68*. — On remarquera que les dérivées de arc cos x et arc sin x sont égales au signe près.
Ceci s'explique aisément car ces deux arcs sont complémentaires puisque le cosinus de l’un est égal au sinus de Lu, tous deux étant égaux à x.
69*. FONCTION INVERSE DE LA TANGENTE. — Etant donné un nombre quelconque +, on sait quil existe: toujours un arc y, TC et un seul, compris entre — — et —+- tel que
tangy TS
A tout nombre x on fait ainsi correspondre un nombre y et, par suite, on définit une fonction y de la variable x. C'est ce qu'on appelle la fonction inverse de la tangente et on écrit :
Ÿ —'arc tang, Ce qui se lit : arc dont la tangente est x.
s ; T IE En dehors de l'arc y, compris entre — 5 et —- + il yena
une infinité d’autres qui diffèrent de celui-ci d’un multiple quel-
gt ne el té Se Si dh
ti
conque de demi-circonférences et qui ont même tangente. Ils sont compris dans la formule
me re
où k désigne un entier arbitraire, positif ou négatif. Les valeurs de : sont les branches de la fonction arc tang x dont y est
ù la première.
70*. Dérivée de arc tang x. — D'après ce qui précède, l'égalité yÿ = arc tangr, | (x) équivaut à l'égalité :
fan reiT) (2)
En admettant l'existence de la dérivée de y, prenons les différentielles des deux membres de l'égalité (2), On a (n° 62°) :
(1 + tang? y) dy = dx.
On en tire :
