DÉRIVÉE
Soit à calculer la différentielle de
Posons
par suite,
Men Os Va? + 5
He ere (Æ AT,
AVE CoB
dy = — sin u. du.
x dx
Mo en, Va? Lx
x dx
dy = — sin Va Er. ac
64". Dérivées des fonctions circulaires inverses. — FONCTION INVERSE DU SINUS. — Étant donné un nombre x,
compris entre — 1 et + 1, on montre en trigonométrie quil
. nes . 4 a T existe toujours un arc y et un seul compris entre — = 2,
T ; | , FR x ; et + — (sur le cercle trigométrique de rayon 1) tel que l’on ait : Se.
sin nu
On fait ainsi correspondre à tout nombre x compris entre — 1
| FLAN te et + 1 un nombre y compris entre — T ét; on définit donc une
fonction y de la variable x qu'on appelle la fonction inverse du
sinus et on écrit :
ce qui se lit : arc dont
£ TC On sait aussi qu'en dehors de l'arc y, compris entre —-- et
MATOS Li;
le sinus est x.
Lonl
il y en a une infinité admettant pour sinus le nombre x et com-
pris dans les formules.
3 — or Æys 2 (2E + r 7%
| 0 T D» 7 =. d Le ou À de "4 DUR 2 . " CRT CL FES TER LC 47 7 me UN as MEN 1.7 “ “| dE : : M k
où # désigne un entier arbitraire, positif ou négatif. Les valeurs de z, qui nè diffèrent de + y ou — y que par une constante, sont ce qu'on appelle les diverses branches de la fonction inverse du sinus : arc sin æ.
65°. Dérivée de arc sin x.— Cherchons la dérivée de la fonction arc sin x. — D'après la définition précédente, dire que Va ATC SIREN “20 #0
c'est dire que
Sin Me. (2)
Admettons l'existence de la dérivée et écrivons que les différentielles des deux membres de l'égalité (2) sont égales. siny est une fonction de fonction (n° 48*); sa différentielle a la même forme (n° 59*) que si y était une variable indépendante ; on a donc :
COS Id ee:
d'où dy "DATES CÉPOSNNT e Or
COS RME Vi—sin Ÿ
et, en vertu de {2}, COSIES EVER. "€ 4 d'où nn:
45 Æ Te
Vi — x?
Le double signe Æ s'explique aisément parce que la fonc-
La dérivée de arc sinx est donc
. à . è T uon à plusieurs branches. Si on prend y compris entre — -
T ss . :
et+ = ,c0s y est positif et on doit prendre le signe + ; de
même, si on prend la branche 247 + y qui a même dérivée
que y puisque la dérivée de la constante 2k7 est nulle; mais si on considère la branche (24 1)r — y, sa dérivée est égale et de signe contraire à celle de y et est, par suite, négative.
66“. FoncTION INVERSE DU cosiNus. — Etant donné un nombre x compris entre — 1 et + 1, il existe, comme on sait,
| un arc y, et un seul, compris entre o et 7, tel que l’on ait : COS Y — x.
À tout nombre x, compris entre — 1 et + 1, on fait ainsi correspondre un nombre y, compris entre o et tr; on définit donc une fonction y de la variable x. C’est ce qu'on appelle la fonction inverse du cosinus et on écrit :
d'arc cost:
ce qui se lit : arc dont le cosinus est x.
En dehors de l'arc y, compris entre o et r, il y en a une infinité d’autres, qui ne diffèrent de + y que par un multiple entier de circonférences, et qui admettent même cosinus. [ls sont compris dans la formule :
