ES

cette dérivée est toujours positive, la fonction est donc croissante pour toutes les valeurs de x.

La fonction

Y—I re LE

a pour dérivée dy —— = — 1 dx 4 cette dérivée est toujours négative, la fonction est donc décroissante pour toutes les valeurs de x.

La fonction

a pour dérivée

Cette dérivée est positive lorsque x >> 1; elle est négative si x£1. La fonction est croissante pour les valeurs de x plus grandes que 1; elle est décroissante pour les valeurs de x plus petites

que ï.

Cette fonction est donc toujours décroissante,

91. Définitions. —On dit qu’une fonction de la variable x est maxima pour x—a, si elle cesse de croître pour décroitre, quand x passe en croissant par a.

La valeur de la fonction pour x—a est ce qu’on appelle un maximum de la fonction.

On dit qu'une fonction est minima pour x—= a, si elle cesse de décroître pour croître quand x passe en croissant par &

La valeur de la fonction pour. æ = a est ce qu’on appelle un minimum.

Il résulte de Ià que lorsqu'une fonction est maxima pour æ—a la valeur qu'elle prend pour x—a est plus grande que toutes les valeurs voisines; etlorsque la fonction est minima sa valeur, pour x—«a, est plus petite que toutes les valeurs voisines.

ExempLe. — Soit la fonction F7 = a? — 2x +5.

Nous avons vu (n° 90) que lorsque x est plus grand que t1 la fonction est croissante; et qu'elle décroît lorsque x est plus petit que 1; pour x — 1,la dérivée est nulle. La fonction cesse de décroître pour croître lorsque x passe en croissant par la valeur 1, elle est donc minima pour x = 1.

La valeur du minimum est

92. — On dit qu'une fonction atteint un maximum absolu, lorsqu'elle atteint une valeur plus grande que toutes celles qu’elle peut prendre pour toutes les valeurs de x.

On dit qu’une fonction atteint un minimum absolu

lorsqu'elle atteint une valeur plus petite que toutes celles qu’elle peut prendre pour toutes les valeurs der: |

Les maxima et minima qui ne sont pas absolus, sont nommés, par opposition, maxima et minima relatifs.

ExemPLes. — Soit la fonction citée plus haut. 2— 0x +5.

Lorsque + > 1, sa dérivée est positive, elle croît; lorsque æ<1, sa dérivée est négative, elle décroît; et pour x = 1, sa dérivée est nulle. La fonction est minima pour x — 1. La valeur du minimum est

Y—=iI—2 +5 —4.

C’est un minimum absolu: car, x variant de — à +o , en passant par 1, la fonction décroît, passe par la valeur 4, puis eroît, 4 est bien Le plus petite valeur qu’elle Rise prendre.

Soit encore la fonction

YF = 2 — 3x +7; sa dérivée est

Quand x croît de — œ à — r, les deux facteurs (x ÿ ct Lu ) sont négatifs, la dérivée est positive, la fonction croît depuis — « jusqu'à un maximum

x croissant de — 1 à + 1, la dérivée est négative : la fonction décroit de 9 à un minimum

Enfin, æ croissant de + 1 à + w , la dérivée est positive, la fonction croît depuis 5 jusqu'à Æ æ. Car il faut remarquer que, pour x — Lo, le polynôme est du signe de son terme de degré le plus élevé + x° et infiniment grand (n° 17).

IL est toujours commode, pour la lecture des résultats, de les résumer dans un tableau.

Dans ce tableau, les valeurs de la variable x sont inscrites, de haut en bas, dans la colonne x, par ordre de grandeur croissante. Dans la colonne y’ sont inscrites, en regard de chaque intervalle, les signes correspondants de la dérivée 7". Enfin, la colonne y indi-

que, pour chaque intervalle, le sens de la variation de la fonction et donne les valeurs remarquables de cette fonction. Dans cet exemple, le maximum et le minimum sont relatifs.

RE 100 + croit

— 1 0 9 (max. relat.) — décroît

LI ro) 5 (min. relat.) + croit

+ co +

93. Théorème I. — Si une fonction de x admet une dérivée qui change de signe pour x — a en passant du signe (+) au signe (—) lorsque x passe en croissant par a, la fonction est maxima pour x —4.

Car la dérivée étant d’abord positive, la .fonction est croissante (n° 88) et la dérivée étant ensuite négative la fonction est décroissante (n° 89). Donc la fonction, qui a cessé de croître pour décroître, est naxima DOM d.

94. TheéorèmelIl. — Si une fonction de x admet une dérivée qui change de signe pour x—a en passant du signe (—) au signe (+) lorsque x passe en croissant par a, la fonction est minima pour x — 4.

Car la dérivée étant d'abord négative, la fonction est décroissante (n° 89) et la dérivée étant ensuite positive, la fonction est croissante (n° 88).

BourzerT. Cours de Math. 5

Donc la fonction qui a cessé de décroître pour croître est minima pour X—=4

95. Théorème III. — Lorsqu'une fonction est maxima ou minima pour x — «a, sa dérivée, st elle existe, est nulle Dour 2—=14: |

En effet, supposons que la fonction y soit maxima pour æ— a et prenne la valeur b.

Donnons à +, à partir de la valeur &, un accroissement A&.

Si Aa est positif, la fonction diminue puisqu'elle décroit après a et par conséquent Ab est négatif. Donc

puisque les deux termes sont de signes contraires.

Si Aa est négatif, la fonction diminue encore puisque, la fonction étant croissante avant @, à la plus petite valeur de la variable correspond la plus petite valeur de y et par conséquent A est négatif. Donc

puisque les deux termes sont de même signe.

Lorsque Aa tend vers zéro, qe tend vers la valeur

de la dérivée de la fonction pour x— 4.

Dans le premier cas, on a Tea la limite ne peut a donc pas être positive.

AE Ab SE Dans le second cas, on UE la limite ne peut a

donc pas être négative.

La limite, qui, est la valeur de la dérivée pour

x—4a, ne pouvant être ni positive ni négative, est nécessairement zulle.

96. Conséquences. — Pour trouver les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction est maxima ou minima, on résout l'équation obtenue en égalant à zéro la dérivée.

Mais il faut se garder de croire que toutes les valeurs de la variable qui annulent la dérivée rendent nécessairement la fonction maxima ou minima.

Il faut encore qu’elle change de signe en s’annulant (n° 93 et 94). Si la dérivée s’annule sans changer de signe, la fonction n’est ni maxima ni minima.

Ainsi, pour avoir les maxima et les minima d’une fonction, on cherche, parmi les valeurs de la variable

qui annulent la dérivée, celles pour lesquelles la .

dérivée change de signe.

97. Marche à suivre pour étudier la variation d’une fonction. — 1° On s'assure si la fonction est bien déterminée pour toute valeur de la variable et on note les valeurs pour lesquelles elle devient infiniment grande, s’il y en a.

2° On calcule la dérivée de la fonction.

3° On cherche les valeurs particulières de la variable pour lesquelles la dérivée est nulle.

4° On range les valeurs remarquables de la variable par ordre de grandeur croissante. On partage ainsi l'intervalle de — © à + © de la variable x en un certain nombre d’intervalles partiels.

>° On cherche le signe de la dérivée dans chaque intervalle, ce qui donne le sens de la variation.

dt Le PP

6° On calcule les valeurs particulières de la fonction : ses maxima et minima, ses valeurs pour L— Et Ou T—-<,0. |

Pour avoir une idée plus exacte de la fonction on peut calculer la valeur de y pour x = o et, lorsque cela sera possible, les valeurs de x pour lesquelles y s’annule.

98. Exemple I. — Étudier la variation de la fonclion Y —=AX À ——— = a et b étant deux nombres positifs donnés.

Nous devrons supposer que x est positif pour qu'on

puisse en prendre la racine carrée.

La dérivée de la fonction est :

2ax \/ x — b DT x

Det

ln ——— 2 V2 U Nés

Cette dérivée s’annule lorsque son numérateur est nul :

24AX x — b—0, De cette équation, tirons +, on a :

2AX Vx ee

et, en élevant au carré les deux membres, il vient :

d'où

CAR R , > mt

Pour cette valeur de x, la dérivée s’annule.

Pour x — 0o la fonction est infiniment orande et positive.

» Quand x croît de zéro à V