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88. Réciproque du théorème I. — Si la dérivée d'une fonction est positive dans un intervalle, cette fonction est croissante dans cet intervalle.

Supposons que la dérivée y’ d’une fonction y de variable x soit positive pour les valeurs de x comprises entre a et b, nous allons montrer que la fonction est croissante dans l'intervalle (a, b).

Pour cela, nous admettrons qu'étant donné un intervalle quelconque on peut le partager en intervalles partiels assez petits pour que dans chacun d'eux la fonction varie toujours dans le même sens. Il suffit, alors, de prouver que dans tout intervalle partiel, si

CROISSANCE ET DÉCROISSANCE Gr

petit qu’il soit, la fonction ne peut être ni décroissante ni constante.

Prenons un intervalle (4, 6), compris entre & et b, et assez petit pour que, dans cet intervalle, la fonction varie toujours dans le même sens.

Si la fonction était décroissante dans l'intervalle (x, $), sa dérivée serait négalive ou nulle (n° 87), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Si la fonction était constante dans l'intervalle (2, 5), sa dérivée serait nulle {n° 28), ce qui est encore contraire à l'hypothèse.

Donc dans l'intervalle (x, $) la fonction ne pouvant être ni décroissante ni nulle est croissante.

La fonction étant croissante dans tout intervalle ASE Ô) Si petit qu il soit compris entre & et b, est crois-

sante dans tout l'intervalle («, b).

89. Réciproque du théorème II. — St la dérivée d'une fonction est négative pour toutes les valeurs de la variable comprises dans un intervalle, cette fonction est décroissante dans cet intervalle.

Soit y’ la dérivée d’une fonction y de variable x et supposons qu elle soitnégative pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b. La fonction est décroissante dans l'intervalle (a, D).

Prenons un intervalle (x, 6), compris entre à et b, et assez petit pour que, dans cet intervalle, la fonction varie toujours dans le même sens.

Si la fonction était croissante dans l'intervalle Ce B), sa dérivée serait positive ou nulle {n° 87), ce qui est contraire à l'hypothèse.

S1 la fonction était constante dans l'intervalle (x, 5), sa dérivée serait nulle (n° 28), ce qui est encore contraire à l'hypothèse.

Donc dans l'intervalle (x, 6), la fonction ne pouvant être ni croissante ni constante, est décroissante.

La fonction étant décroissante dans tout intervalle (2, 5) si petit qu'il soit compris entre & et b, est décroissante dans tout l'intervalle (@, b).

90. Remarque. — Ces deux théorèmes et leurs réciproques permettent de reconnaître par l'examen de la dérivée si une fonction est croissante ou décrois-

sante.

Exempzes. — La fonction Y = 2€ —3 a pour dérivée