D'E—ION N COS UNE (II

y—= bd + x sina+y cos a, \ qui sont les formules générales cherchées, fournissant les coordonnées d’un point dans un système d’axes quand on connaît ses coordonnées par rapport à un autre système d'axes.

122, Representation graphique d’une fonction. — Soit f (x) une fonction de la variable x. Désignons

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par y la valeur de la fonction qui correspond à la valeur x de la variable.

L'égalité

fait correspondre, en général, à chaque valeur de x une valeur pour y (en tout cas un nombre limité de valeurs de y).

Ceci revient à dire que, si on considère dans un plan deux droites rectangulaires Ox et Oy, il existe, sur toute parallèle Pz (fig. 21) à Oy, d’abscisse x==OP, un point M dont l'ordonnée y est égale à f(x).

Lorsqu'on fait varier x de — œ à Lo, le point P décrit tout l'axe Ox, de .x' vers HCldet point, Mrde

z, décrit -üun- lieu géométrique, une courbe C. Cette courbe Cest ce qu’on appelle La courbe représentative de la variation de La fonction.

Donc, la courbe représentative de la variation de la fonction est une courbe telle que tout point M de la courbe, d’abscisse x,a précisémentcomme ordonnée y la valeur correspondante de la fonction f (x).

Nous avons supposé. qu'à toute valeur de x correspondait une seule valeur de y; mais il peut arriver qu à une valeur de x correspondent plusieurs, par exemple deux, valeurs de y; alors, sur toute paral-

Fig. 21.

BourLerT, Cours de math. 7

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lèle Pz à oy, il existe deux points P’ et P” dont les ordonnées y sont égales aux valeurs de

fait varier x de — à + , le point P décrit tout l’axe Ox de x’ vers + et les points P’ et P”, décrivent un lieu géométrique, une 4 courbe C qui est la courbe représentative de la variation de la fonction. La courbe a deux branches, l’une AP'B décrite par le point P'et l’autre AP/B décrite par le point P”.

Fig. 22.

123. Equation d’une courbe. — Etant donnée une courbe C, il existe entre les coordonnées x,y, d’un point M de la courbe (fig. 21) une certaine relation ; cette relation est ce qu’on appelle l'équation de la courbe.

En effet, considérons une courbe C (fig. 21) ; donnons-nous un nombre x quelconque etportons surl'axe Ox, OP — x; parle point P, menons Pz parallèle à Oy; cette droite coupe la conte C en un point M. Mesurons PM et soit y sa valeur, qui est l’ordonnée du point M. À chaque valeur de x, nous faisons ainsi correspondre une valeur de y et, par suite, nous définissons une fonction y de la variable x.

Donc, entre x et ? y il existe une relation ; cette relation est / équation de la courbe. AU

Il peut arriver que la parallèle à Oy coupe la courbe en plusieurs points (Hg. 22), À chaque valeur de G

fix)(fig.22).Lorsqu'on

correspondent plusieurs valeurs de y. La fonction est à plusieurs branches. |

Dans ce cas, la relation qui lie x et y n’est pas en général résolue ou résoluble par rapport à y. La fonction y est donnée sous forme implicite (n° 4).

124. Resumé. — Toute fonction peut être représentée par une courbe et, réciproquement, toute courbe représente une certaine fonction.

La relation qui lie les coordonnées #, y, d’un point quelconque de la courbe est l'équation de la courbe.

On peut donc dire que l'équation d'une courbe est la relation qui est vérifiée par les coordonnées d’un point quelconque de la courbe et qui permet de calculer l’ordonnée y d'un point de la courbe quand on connait son abscisse x.

125. Image de la variation de la fonction, — La représentation graphique de la variation d’une fonction par une courbe donne une image de la variation de la fonction qui permet de suivre facilement le sens de cette variation.

Prenons, sur l'axe Ox (fig. 21) OP = wr. Lorsque x varie de — © à + , le point P décrit tout l’axe x'x de gauche à droite. Si la fonction croit, sa valeur numérique augmente en même temps que «x, l’ordonnée PM du point représentatif M augmente et le point M s’élève, la courbe monte. Lorsque la fonction décroit, l'ordonnée PM diminue, le point M s’abaisse et la courbe descend. +

Donc la courbe monte ou descend (de gauche à droite) suivant que la fonction: croit ou décroit.

Ainsi, dans la figure 21, lorsque le point P va de P' en P, la courbe monte ; donc la fonction croit, quand æ croît de la valeur x! — OP' à x — OP.

Au contraire, de P en P”, la courbe descend ; donc

la fonction décroît, quand x croît de la valeur x = OP à Ia Valeur 2 OPEN

126. Exemple. — Comme exemple, indiquons la courbe représentative de la fonction PE RE

en en construisant quelques points.

Pour faire aisément le tracé d’une courbe, il est commode d’employer un papier quadrillé (fig. 23) sur lequel on trace deux axes

Fig. 23.

Ox, O7. Le quadrillage sert à marquer plus facilement les points de

cotes rondes, c'est-à-dire les points dont les coordonnées sont des nombres entiers.

Donnons à x des valeurs entières :

pour æ——2, on a: y — 3 ce qui donne le point A DT = 100% M Et » B ME qe à » en » C ARLES » MES » D PILE 2, » Y = 7 » E

LA DROITE IOI

En joignant tous les points obtenus par un trait continu on a une idée générale de la courbe représentative de la fonction, La fonction a un minimum ; prenons sa dérivée :

dy —— = 2% ; dx D elle est nulle pour PRE I : ee Donc pour x = — Fe la fonction est minima et la valeur correspondante de y est I I 3 nie I1Z= —, REA Sr Le point le plus bas M de la courbe a donc pour coordonnées I 3 2 À

Nous verrons plus loin que cette courbe est une parabole,

127. Equation d’une droite. — Toute droite est représentée par unè équation du premier degré entre x el y.

Pour le démontrer nous examinerons, successivement, plusieurs cas.