GO

Le segment OM est la résultante des segments O0

et O'M. En projetant sur un axe quelconque, on à

donc (n° 114) proj. OM = pr'oj. OO" + pro. O'M. (1)

Soient & et b les coordonnées de 0’, Projetons les trois segments sur l'axe Ox ;

DTDI A ONE, Dr OO, DROTACINLEE; TE

et, en portant ces valeurs dans l'égalité (1), on a

94 COURS DE MATHÉMATIQUES En projetant les trois segments sur l’axe Oy, ona prop OM, DO OO DrOj UNE

Ce qui donne, en vertu de l'égalité (r) :

re On a donc les formules x = 4 + x, | “ (n)

vraies pour toutes les positions du point M.

420. »° Rotation des axes autour de l'origine. — Soient (fig. 19) Oxy un premier système d'axes et Ox'y' un nouveau système obtenu en faisant tourner le premier autour de l’origine d’un angle &. Prenons un point M dans leur plan; soient x,y les coordonnées de M par rapport au système Oxy et x',y' ses coordonnées par rapport au système Ox'y. Menons MP perpendiculaire à Ox' et MQ perpendiculaire à Oy'. Par définition,

Fig. 19.

OP = x’ et OQ = y.

Le segment OM est la résultante des segments OP et PM ou des segments OP et OQ, car PM = OQ.

En projetant sur un axe quelconque, on a donc

pro]. OM — proj. OP + proj. OQ. (1) Projetons sur l'axe Ox ; nous aurons :

Pro OM Fest

proj. OP— OP cos (xOx') = x’ cos #, en vertu du théorème du n° 113:

PAT 14 te proj. OQ=OQ cos(x0y'")—=y' cos (a + 90°) ——7y'sinx. En portant ces valeurs dans l'égalité (1), on a x—= x COS à — y'Sin «.

En projetant les trois segments sur l’axe Oy, on a pro. OM = y, : pe HET pro}. OP = OPcos (x'Oy) = x' cos (90° — «)— x’ sin «, , as ADR pro 00 —=00:co8 (yOy)— y! cos «.

En portant ces valeurs dans l'égalité (1), on a : y —=x'Sinma+y'cos a.

On a donc les formules

XX COSA — 7 Sin, } 1) y = x Sina + y'cosu. |

121. 3° Cas général. — Soient (fig. 20) Oxy un premier système d’axes et O'x'y' un nouveau système d'axes placés d’une manière quelconque par rapport aux anciens. Par le point O0’, menons un système

d'axes O'x,y, parallèles aux premiers et soit « l'angle qu'il faitavec le sys- 7 v[Eÿ.) tème O'xy". | de Soit M un point du plan, -%,7%66es ENS coordonnées par.

rapport au système Oxy, x,,y, Ses coordonnées par rapport au système O'x,y, et.x',y'ses coordonnées par rapportau système O'x'y'. Pour passer du système de coordonnées Oxy au système O'x,y,, on emploie les formules (1) (n° 419) et on a, O’ ayant pour coordonnées & et b : = 4 + X)

Pour passer du système O'x,y, au système Or, on emploie les formules (IT) (n° 420) et on a :

PAP) lg \ X,—=X COS 2 — 7 SIN à, }

y,—= «+ sin à +y' cos à, | En portant ces valeurs de x.y, dans (1). il vient 1 Yi ,