Droites perpendiculaires, — Soit

Y = MX

FPAUUOTT ER

112 COURS DE MATHÉMATIQUES une première droite D (fig. 34) et soit Y=NME

une seconde droite D’.

Cherchons à quelle condition elles sont perpendiculaires.

Soit à l'angle de D avec l'axe Or, on a

== to a.

Fig. 34. La droite D’ perpendiculaire sur la droite D fait avec Ox un l’angle « + 90°, donc

m' — tg (90° +),

ENS () 0 m'—— tg (180° — 90° — «), nm — — tg (90° — o), et, enfin, MR CON Mais CODES = ; to © Donc I I MN = — = — —— to o nm

On a donc finalement MM —= — 1,

qui est la condition cherchée.

Pour que deux droites soient perpendiculaires l’une sur l’autre, il faut et il suffit que le produit de leurs coefficients angulaires soit égal à — 1.

141. Equation de la perpendiculaire abaissée d’un point sur une droïte, — Soit une droite D (fig. 35)

Y—=MX+Nn

et soit un point À de coordonnées x,,7,. Cherchons l'équation de la droite D’ passant par le point A et perpendiculaire à la droite D.

La droite D'passantpar le point À, son équation x!

est de la forme (n°137)

A (L, } rie 3 : LES Le Y—Y—=m (xx), (1) y Ju £ :

m' étant son coefficient Fig. 35.

angulaire.

Les deux droites sont perpendiculaires. On a donc entre leurs coefficients angulaires la relation (n°440)

MID —=— 1 d’où on tire M) —= — ——,

Cette valeur portée dans la relation (1) donne

L | 2] HR UN En (te?

qui est l'équation cherchée,

142. Distance de deux points, — 1* cas. Distance d'un point à l'origine des coordonnées. — Soit un point M de coordonnées x,y (fig. 36).

BourLer. Cours de math, 8

Abaissons du point M la perpendiculaire MP à Ox : on à

OP— x, PM—y.

Le triangle rectangle OMP donne

Fig. 36. OM — Si on pose OM — d, on a donc E = 2° + y.

C'est la formule qui donne la distance d cherchée.

143. 2° cas. Distance de deux points quelconques. — Soit M’ un point de coordonnées x',y'" et soit M un second point de coordonnées x, y (fig. 35).

Menons par M'unnouveau système d’axes M'x,, M'y:, parallèles aux premiers et de même sens, et soient Fig de.

1, Yi, les Coordon-

nées de M par rapport à ces nouveaux axes. M étant la nouvelle origine, les formules de changement de coordonnées donnent (n° 419) :

LIL T,) ERA | (x) Yy=Y + y)

Or, si d'est la distance des deux points M et M', on

a, d'après le premier cas, d = xi + yi. (2) Les relations (1) donnent DER, PS Us Y et ces valeurs portées dans la formule (2) donnent tdi y):

C'est la formule qui donne la distance d cherchée.

144. Équation du cercle. — 1 cas. — Le centre du cercle est l’origine des coordonnées.

Soit (fig. 38) un cercle de centre O et de rayon R. Pour qu'un point M de coordonnées «,7 soit sur le cercle, il faut et il suffit que l’on ait

OM= KR