CM =R

ou

Fig. 30.

Mais (n° 443) on a

donc, pour tout point du cercle, on a :

. 2 2 pt (x — a} + (y —bdb) —=R*.

C'est l’équation du cercle.

Développous-la, elle s'écrit :

2° + — 24ax — 20y + à + b° — R° —0.

Si on pose HER — 0,

elle prend la forme

146. — Réciproquement, toute équation de la forme (1) représente un cercle.

En effet, si on pose

on en tire pour R une valeur bien déterminée a PPT ET AT bp? :

i—\ a + AC;

et en remplacant c par cette valeur dans l'égalité (1), elle exprime que le carré de la distance CM est égal à R°; donc que CM— R ou que le point M est sur un cercle dont le centre est le point C de coordonnées a et b et dont le rayon est R.

ExemPze. — Soit l'équation:

x? y? — 2x + 47 LiZ—o. (2)

Elle est de la forme (1). Elle représente donc un cercle.

Coordonnées du centre: Comparant (x) et (2), on a, en égalant les coefficients de x,

LP OR GR 9 LUN OA: dl

et, en égalant les coefficients de y,

— 2h —4, d'où b——; 1 et — 2 sont donc les coordonnées Fig. 40.

du centre C (fig. 40).

Rayon : On a Ta

R — Va? +4? mt R=Vit4— 1 —=V4— ;

Connaissant le centre et le rayon on peut construire le cercle (fig. 40) et l’on voit qu'il est tangent en A à l'axe Ox.

141. Equation de la parabole rapportée à son axe et a la tangente au sommet. — Soit une parabole définie par son sommet O, son foyer F et sa directrice DD’ (fig. 41).

Prenons pour axe Ox la tangente au sommet et pour axe Oy l'axe même de la parabole, le sens positif étant dirigé vers l’intérieur de la courbe.

Soit M un point de la parabole de coordonnées x et y.

Menons la perpendiculaire MH sur la directrice DD’.

Le point M étant sur la parabole, on a

MH — MF

ou

MH —MF*.

Le paramètre est la distance FA du foyer à la directrice, appelons-le p. Les coordonnées de F sont alors

D D o et Le celles de À sont o et — L

On a (n° 143)

Abaissons MP perpendiculaire sur Oy.

La figure HAPM étant un parallélogramme, on a: