L'ELLIPSE ET L'HYPERBOLE

vérifie une des relations (4) il vérifie soit (r}), soit (2),

soit (3).

1 cas. Soit 24 > 20. Nous allons montrer que le point M vérifie la relation (r).

Pour cela, prouvons que le point M ne peut vérifier ni (2), ni (3). Soit M (fig. 46) un point quelconque du plan, joignons M à F'et à F', le triangle MFF’ donne

MF —MEF' <FF

et MF'— MF < FF’.

Mais Fee 202 907

on a donc MF —MF'< 2c< 24,

NME MER LS 54:

Donc MF — MF’ et MF’ — MF sont toujours plus petits que 24 pour tout point M du plan.

Le point M, satisfaisant à une relation de la forme (4), et ne pouvant pas vérifier les relations (2) ou (3), vérilie la relation (r) et est sur une ellipse.

2° cas. Soit 24 < 20. Nous allons prouver que, dans ce cas, le point M vérifie la relation (2) ou la relation (3). Pour cela, montrons que le point M ne peut pas vérifier la relation (r).

Le triangle MFF’ donne

ME MF'>FF’ Mais HIRRÉEENS es 7

on a donc MEME! 26 20.

La somme MF + MF’ est plus grande que a, elle ne sera donc jamais égale à 2a. Donc M ne peut pas vérifier la relation (1); il vérifie soit (2) soit (3), et ül est sur une hyperbole de foyers F et F’ et d’axe

transverse 24.

156. — Ceci posé, prenons FF comme axe Ox et comme axe Oy, la perpendiculaire au milieu de FF’ (fig. 47).

Soit M, un point dans le plan, de coordonnées x et y.

On a (n° 143). es ME = fc Eye

Fig. 47.

et

MF = ÿ{x+c) y.

Pour que le point M soit sur une ellipse ou une hyperbole de foyers F et F', il faut et il suffit, comme on vient de le voir, que l’on ait :

+MF+MF — a et, par suite, 2 VRRT ET 2 VE 20;

C’est l'équation de la courbe rapportée à ses axes, Faisons disparaitre les radicaux et pour cela isolons le premier radical |

AVR ET 20 2 VF O 7

puis élevons les deux membres de l'équation au carré.