MUR

droite MN quiest fixe et à la limite, quand le point M se confond avec M, le point I vient occuper une position limite C.

Le point C, ainsi obtenu, est{e centre decourbure au point M; la longueur CM est le rayon de courbure.

On appelle cercle de courbure au point M, le cercle de centre C et tangent à la courbe en M.

Généralement le cercle de courbure en un point M d'une courbe tra-

verse (fig. 59) cette courbe en M. Quand cela na pas lieu, le point est appelé sommet de la courbe.

Fig. 59.

4116. Calcul du rayon de courbure, — Soit une courbe T (fig. 59), prenons deux axes Or, 07 et un point M sur la courbe de coordonnées x, y.

Le coefficient angulaire de la tangente en M est égal à y’.

Prenons un point M' sur la courbe, voisin du point M. Quand on passe de M en M’, l'abscisse x subit un accroissementAx, et l'ordonnée y un accroissement Ay correspondant, de telle sorte que les coordonnées de M’ sont (x + Ax) et (y + Ay). De même, le coefficient angulaire de la tangente, quand on passe de M en M’, subit un accroissement Ay', ce qui fait qu'au point M le coeflicient angulaire de la tangente est (y + A7).

Menons les deux normales aux points M et M'et

soit [| leur point d'intersection de coordonnées X et Y.

Le point I étant sur chaque normale, ses coordon-

nées X, Ÿ vérifient l'équation de chaque normale. L'équation de la normale MI est (n°173)

berne D y leo: (1) L'équation de la normale MI est X—x—Ar+(y +Ay)(Y—y—Ay)=0, (2) ce qui peut s'écrire X—x—Ax+Yy(Y—y)+AY (Y —7y) ay(y+Ay)—=0o () Les coordonnées du point [ vérifiant les équations (1) et (3), 1l suffit de résoudre ces deux équations pour avoir X et Y.

Retranchant (x) de (3), il vient —Ax+Ay (Y—7y)—Ay (y +Ay)=o.

D'où

__ Ax+Ay(y +Ay)

V1 7 DES EES (4)

D'ailleurs, l'équation (r) peut s écrire :

Rte ne Any) (8)

et ainsi les égalités (4) et (5) donnent les valeurs de X et Y, coordonnées du point I.

Si on fait tendre Ax vers zéro, c'est-à-dire si M’se rapproche indéfiniment de M, le point I tend vers une position limite C qui est le centre de courbure.

Soient x,, y, les coordonnées de ce point C.

Quand Ax tend vers zéro, X tend vers x, et Y vers 7,.

D'autre part, la relation (4) peut s’écrire, en divisant les deux termes de la fraction par Ax,

Ù + (y' + Ay)