USAGE DU GRAPHOMÈTRE

limbe et la division qui correspond au fil de la croisée mobile, mesure l'angle BAC.

Si les lignes AB, AG du terrain ne sont pas horizontales, l'arc B'C' mesure l'angle BAG réduit à l'horizon, c'est-à-dire projeté sur un plan horizontal. Les jalons en B et en G doivent être plantés verticalement .

oO. Mesure d'un angle BAC dont le plan 'n'est pas horizontal.

Les points B, A, C qui déterminent cet angle doivent être donnés avec précision. Le graphomètre mis en station au sommet A étant, comme dans le cas précédent, sur la verticale de ce point, on vise, pour plus d'exactitude, deux points h, c, situés sur les verticales des points B etC, au-dessus de ces points à la hauteur du graphomètre (*). Pour cela, on fait tourner la sphère du genou à frottement doux entre ses coquilles, et par suite le limbe de manière que l'alidade iixe étant dirigée vers le point h, le plan du limbe passe aussi par le point c [**). On parvient, après quelques tâtonnements, à donner cette position. On serre alors la vis i, puis on fait tourner l'alidade mobile pour la diriger vers le point c. Quand elle a bien cetjte direction, on lit sur le limbe la valeur de l'angle BAC qui est mesurée par l'arc B'C.

Vérification du graphomètre. On se place en station sur un terrain découvert, successivement en trois points A, B, C, et on y mesure les trois angles BAC, CBA, BGA, du triangle ABC; la somme des angles mesurés doit être égale à 180°. Ou bien encore, sans quitter une station 0, on vise horizontalement dans un certain nombre de directions des points A, B, C, D, en prenant la mesure des angles AOB, BOC , etc., tout autour du point 0; la somme des angles mesurés doit être 300°. De l'une ou de l'autre manière si l'on ne trouve pas précisément pour somme 180° ou 360°, la différence divisée par le nombre des angles mesurés est l'erreur moyenne que l'on peut commettre en faisant usage de l'instrument.

51. Des verkiers. Afin que les divisions du graphomètre soient nettes et distinctes, on se borne ordinairement à diviser le limbe en demi-degrés ou au

(*) A peu près comme dans la figure précédente ; appelez b et c les deux points visés sur les jalons B et C.

(**) C'est-à-dire que le point b comme le point c doit être sur la direction d'un ravon visuel dirigé au ras du limbe.

plus en quarts de degrés. Quand on mesure les angles du terrain uniquement pour les rapporter sur le papier (par ex.: dans le levé d'un plan), il est inutile de les évaluer avec plus d'approximation; car le rapporteur dont on se sert pour construire ces angles sur le papier n'en permet pas une plus grande. Mais il n'en est pas ainsi quand les angles mesurés doivent servir à calculer certaines longueurs du terrain (trigonométrie). C'est pour les obtenir, dans ce cas. avec une plus grande approximation qu'on a terminé des deux côtés la règle de l'alidade mobile par des arcs divisés qu'on peut voir sur la figure ; ces arcs divisés sont des rentiers circulaires.

5*. On appelle, en général, vernier ou nonius une petite règle divisée mn qui , adaptée à une plus grande AB , à côté de laquelle elle glisse librement , permet d'évaluer les longueurs à moins d'une fraction déterminée de la plus petite division de la grande règle.

In vernier circulaire est un arc divisé adapté à un plus grand arc de même rayon, dans un but analogue.

Construction d'un vernier. La plus petite division d'une règle AB étant, par exemple , le millimètre , on veut lui adapter un vernier qui permette d'évaluer les longueurs à moins d'un dixième de millimètre. On prend une petite règle bien dressée mn de 9 millimètres de long (10 — 1); on la divise en 10 parties égales -, puis on l'adapte à la plus grande, de manière que lorsqu'elle glisse à côté de celle-ci dans une coulisse ou autrement, les traits des deux règles soient parallèles.

Si l'on fait coïncider les deux zéros des deux règles [fig. précédente), on remarque aisément que le n° 1 du vernier, mn, précède de — de millimètre le

n° 1 delà grande règle (une division du vernier ne valant que — de millimètre);

len°2 du vernier précède de — de millimètre le n° 2 de la règle, et ainsi de suite

Jusqu'au n° 10 du vernier qui, précédant le n° 10 de la règle de — de millimètre , coïncide précisément avec le n° 9 de la règle. C'est sur ces écarts des divisions des deux règles, progressivement croissants à partir du 0 du vernier, qu'est fondé l'usage de cet instrument.

Usage du vernier. On place la longueur à mesurer le long de la grande règle, à partir du 0 de celle-ci. Supposons qu'alors la seconde extrémité dé cette longueur tombe entre les n6s 0 et 7 ; on conclut de là que cette longueur

VERNIERS. 31

se compose de G millimètres plus une fraction de millimètre. Pour évaluer cette traction approximativement, on fait avancer le vernier vers la longueur AB ,

de manière que son zéro soit à l'extrémité de cette longueur. Puis on regarde quel est le trait du vernier qui coïncide alors avec un trait de la règle ; ou, à défaut d'une telle coïncidence, quel est le trait qui se rapproche le plus d'un trait de la règle. Supposons que le premier cas ait lieu, que le n° 4 du vernier coïncide alors avec un trait de la règle ; on conclut de là que la longueur à évaluer

se compose de G millimètres — .

En effet, si l'on revient des traits qui coïncident vers le 0 du vernier, à mesure qu'on avance d'unedivision dans ce sens, on voit l'écart entre le trait du vernier et

1 imill.

le trait voisin de la règle augmenter de — de millimètre ; cet écart est de —

omill.

après une division, — après deux divisions, etc. , après t divisions parcourues

4 mil!.

(du 4 au 0 du vernier), l'écart est donc de — entre le zéro du vernier ou l'ex-

trémité B de la longueur AB et le trait voisin, n° G, de la grande règle. En général , si n est le numéro du vernier qui coïncide avec un trait de la

règle , — de millimètre est la longueur de la fraction à évaluer. Si le n° 4 du

vernier était seulement le numéro du vernier qui se rapproche le plus d'un

trait de la grande règle , on conclurait que la fraction de millimètre que l'on

cherche à évaluer est — de millimètre, à moins de — de millimètre. 10 10

Règle gétii!rale. Si l'on veut évaluer des longueurs à moins de la n'ëme partie

d'une division de la grande règle, on prendra une petite règle bien dressée dont

la longueur soit précisément n — 1 divisions de la grande règle , et on divisera

cette petite règle en n parties égales. 11 sullit de remarquer que chacune de ces

divisions vaut d'une division de la grande règle > pour comprendre ce

qui arrive quand on a adapté les l'une à l'autre.

5 s. Vernier circulaire. La longueur d'un arc de cercle se mesurant à l'aide d'un arc gradué comme une ligne droite se mesure avec une règle, on construit des verniers circulaire sd'après les mêmes principes que les verniers rectilignes, et on s'en sert de la même manière.

Le vernier du graphomètre est un arc de 20 demi-degrés divisés en 30 parties

égales; il permet donc d'évaluer les arcs et les angles à moins de — de demi-

de^ré, c'est-à-dire à moins d'une minute. Le zéro de ce vernier est placé à l'extrémité de la ligne de foi de l'alidade (n° 49); il coïncide donc toujours avec l'extrémité de l'arc à mesurer. Dès lors , il suffit de remarquer à quel numéro du vernier a lieu la coïncidence des traits des deux arcs, ou le rapprochement le plus grand de deux traits. Ce numéro du vernier indique combien il faut ajouter de minutes à l'arc indiqué par la division du limbe principal qui précède immédiatement le zéro du vernier (*).

Remarque. La base de chaque pinnulc occupant un arc de G0 environ, on ne peut mesurer avec le graphomètre à vernier ni un angle inférieur à 6°, ni un angle supérieur à 174e. Quand cela est nécessaire, on choisit une ligne auxiliaire du terrain au dehors ou au dedans de l'angle à mesurer, de manière que cet angle soit dans le 1er cas la différence de doux angles plus grands, et dans le 2e cas, la somme de deux angles plus petits.

LEVE AL" GRAPHOMETKE.

o4. On se sert du graphomètre quand il est nécessaire ou avantageux de substituer la mesure des angles à celle d'un certain nombre de longueurs. Le graphomètre n'est pas le seul instrument qui serve à la mesure des angles, mais c'est celui qui les donne avec plus de précision. On lève au graphomètre par toutes les méthodes que nous connaissons préliminaires) ; mais celle qui convient le mieux est la méthode par intersections.

Levé du plan. On choisit une base MN des extrémités de laquelle on aperçoive aisément les points à relever; on la mesure avec soin. On met le graphomètre en station au point M, de manière que l'alidade fixe ait la direction MN ; on fixe le limbe horizontalement dans cette position. Puis on dirige l'alidade mobile successivement vers les points A, B, C, ; on inscrit les valeurs des

angles AMN . BMN Cela fait, on transporte le graphomè-

(*) Quand on se sert de la seconde graduation du limbe, pour mesurer un angle obtus qui est le supplément de l'angle aigu indiqué par la lrc graduation, il faut ajouter au nombre de demi-degrés indiqué sur la 2e graduation, non pas le nombre de minutes indiqué par le vernier ^depuis son zéro jusqu'à la coïncidence), mais la différence entre ce nombre de minutes et 30'. C'est ce qu'on voit aisément à l'inspection de l'instrument pour le calcul actuel , eu égard à nos précédentes explications.

LEVE AU GHAl'IIOMETKE.

tre en N et on l'y met en station, de manière que l'alidade fixe ait la direction NM ; puis on dirige l'alidade mobile vers les mêmes

points A, B, C, ; on inscrit encore les angles ANM3 BNM, etc.

Construction du plan [fig. 2). On trace une ligne mn égale à MN

réduite à l'échelle (si cette ligne n'est pas déjà tracée). Puis au pointm,

on fait successivement avec le rapporteur les angles amn, bmn,

égaux à AMN, BMN, ...; puis au point n les angles anm, bnm, ... ,

égaux à ANM, BNM, On marque le point a où se rencontrent

les lignes ma, na, qui correspondent au même point A du terrain; on marque de même le point b correspondant au point B; etc.

Cela fait, on joint les points a, b, c , sur le papier de la même

manière que leurs homologues A, B, C, sont joints sur le terrain. Un point 0 isolé sur le terrain reste isolé sur le papier.

S&. Méthode par cheminement. Quand les obstacles, tels que des arbres , des maisons , empêchent de viser dans les directions convenables à travers le terrain , on peut employer la méthode par cheminement en reliant les points par une suite de lignes droites que l'on peut parcourir et mesurer. Supposons qu'il s'agisse de relever un contour polygonal ABGDE

Levé du plan. On mesure les côtés AB, BC, CD .. . avec la chaîne^ et successivement à mesure qu'on se trouve aux sommets B , C , D, on y mesure avec le graphomètre les angles ABC, BCD, etc.

Construction du plan. On réduit suivant l'échelle toutes les lon-

gueurs AB, BC, CD, ; soient ab, bc, ad, ces longueurs réduites. On trace une lre ligne égale à ab si cela n'est pas déjà fait. Puis on continue la construction comme il a été indiqué n° 6.

56. Nous n'avons pas besoin d'expliquer le levé au graphomètre par les autres méthodes ; on voit assez ce qu'il faut faire pour les appliquer ; nous renvoyons à ce qui a été dit dans les préliminaires.

o7. Remarques. La méthode par intersections offre l'avantage de n'exiger que la mesure d'une seule base, et deux stations seulement l'une en M , l'autre en N, pour mesurer les angles. Il importe en général d'éviter la mesure des grandes lignes et les stations trop nombreuses, parce que, à chaque station , il faut un temps assez long et des soins particuliers pour bien mettre en station le graphomètre ou la planchette (n° 62).

Néanmoins , il y a des cas où cette méthode n'est pas assez rigoureuse. Un point est mal déterminé par l'intersection de deux droites , quand ces lignes se rencontrent sous un angle très-aigu , ou, ce qui est la même chose, voisin de 180°, parce que, vu l'épaisseur des lignes tracées sur le papier, le lieu de leur rencontre est alors une espèce de losange dans lequel il faut distinguer le point d'intersection des lignes géométriques. Pour éviter cet inconvénient, il faut choisir la base aussi grande que possible, à peu près le cinquième ou le sixième de la plus grande des lignes qui doivent joindre ses extrémités aux points à relever. Il faut de plus la choisir telle qu'il ne se trouve aucun de ces points sur son prolongement ou très- près de ce prolongement; car pour ces points la construction serait illusoire.

DE LA i-LAAChETtE*

oîî. Quand on n'a pas besoin d'une très-grande précision et qu'on veut opérer plus rapidement, on fait usage de la planchette, à l'aide de laquelle on peut à la fois lever et rapporter un plan.

Planchette. La planchette est une planche à dessiner, parfaitement dressée [fig. 16), sur laquelle on tend une ou plusieurs feuilles de papier, au moyen de deux petits cylindres mobiles sur

['L.ViNCHETTt:.

leurs axes , disposés à cet effet sur les bords de la planchette , comme le montre la figure. Celle-ci est supportée , comme le graphomètre, par un genou à coquilles (V. la fig.), ou un genou à la

Cugnot (n° 59), et un pied à trois branches.

Sur un genou à coquilles, on rend la planchette horizontale de la même manière que le graphomètre.

Pour plus de précision, on peut se servir de deux niveaux à bulle d'air, n et ri, que l'on pose dans deux directions rectangulaires sur la planchette déjà rendue à peu près horizontale. On fait tourner doucement la sphère dit genou autour cl'iiri diamètre parallèle au niveau n jusqu'à ce que la bulle de n' soit au milieu du tube , puis autour d'un diamètre parallèle à ri jusqu'à ce qu'il en soit de même de la bulle de n (note, p. 37).

Sur la planchette disposée horizontalement, on pose une alidade mobile, AB, à pinnules ou à lunettes; cette alidade est évidée de manière que son bord intérieur soit dans le plan vertical qui passe par les fils des pinnules ou par l'axe de la lunette.