SOMMETS

ABSCISSES.

ORDONNEES.

des

en plus (dou-

en moins (dou-1

abscisses.

blées.)

met.

met. c.

Totau

Di lié Aire

Explication. Construction des tableaux.

Avant do prendre aucune mesure, on prépare le cadre avec son en tête tel qu'on le voit sur nos tableaux, et on y inscrit d'après le croquis tous les sommets du polygone, en procédant par ordre à partir de celui qui est le plus proche (en projection) de l'origine 0 choisie sur la base. Quand la base traverse le terrain, comme dans les fig. (1) et (2), il convient de partager les sommets en deux séries que l'on inscrit l'une après l'autre. Ainsi pour la fig. \ , nous avons inscrit les sommets situés sur la base et au-dessus, puis les sommets situés sur la base et au-dessous. Quand la base ne traverse pas le terrain, on inscrit tous les sommets à partir du plus voisin de l'origine^ 0 des abscisses, en faisant le tour du polygone toujours dans le même sens, de manière à finir par les sommets les plus rapprochés de la base. (V. ce qui a été fait pour la fig. 3, 2e tableau )

On inscrit l'abscisse et l'ordonnée de chaque sommet aussitôt mesurées à côté de la lettre qui désigne ce sommet.

Les mesures prises et inscrites, on retranche chaque abscisse de celle qui occupe le deuxième rang après elle dans la même série ( la lre de la 3e, la 2e de la 4e, etc. ). On inscrit le reste dans la colonne intitulée différence des abscisses à côté de l'ordonnée du point intermédiaire (la différence entre la \re abscisse et la 3U s'écrit à côté de la 2e ordonnée; etc.). Quand la soustraction de deux abscisses ne peut s'effectuer dans l'ordre indiqué (celle qui suit étant la plus grande), on effectue la soustraction en sens inverse, et on fait précéder la différence de ce signe — (moins). (V. le 2e tableau.)

Après la colonne des différences se trouve la colonne des aires (doublées). Quand il n'y a pas de différences en moins, on ne fait qu'une colonne pour les aires; dans le cas contraire, on en fait deux intitulées aires en plus, aires en moins (2e tableau).

Pour obtenir les aires, on multiplie chaque différence par l'ordonnée écrite à côté , et on inscrit le produit sur la même ligne horizontale dans la colonne des aires en plus si la différence est en plus, dans la colonne des aires en moins dans le cas contraire. On additionne les aires de chaque colonne; quand il y a des aires en moins . on les retranche des aires en plus.

AllPENTAGE. 73

Enfin, on prend la moitié de la somme, ou la moitié du reste quand on a du faire la soustraction (*).

Telle est la méthode que nous croyons la plus simple et la plus régulière pour calculer l'aire d'un terrain à contour polygonal ou sinueux, et même curviligne; car elle s'applique aussi bien aux terrains terminés par des lignes courbes.

11 est à remarquer que les trois premières colonnes doivent être établies dans le levé du plan à l'équerre par tout géomètre ou arpenteur habitué à opérer avec ordre (V. page 23); or, ces trois colonnes remplies, il est bien facile de calculer l'aire du terrain. Il convient donc de tenir bonne note des mesures prises dans le levé h l'équerre quand on doit plus tard calculer l'aire du terrain.

Démonstration. L'exactitude de la méthode est très-facile à vérifier; le lecteur peut le faire sur nos trois figures.

Dans la fig. 1 , par exemple, à l'ordonnée BB', qui appartient à un trapèze et à un triangle, correspond dans l'évaluation des aires

le produit - BB' X AC == - BB X (OC — OA) ; or le l<* produit

écrit dans la 5<- colonne estBB' x(0C— OA) \ l'aire est donc doublée.

A l'ordonnée CC correspond le produit - CC'xFVD'= - CC X

(OD' — OB'), etc. De même pour toutes les ordonnées de la fig. (4).

Dans la fig. (2), à l'ordonnée BB' correspond dans l'évaluation des

aires le produit ^BB' (B'C— AB') =-BB'xAC'= i BB' (OC -OA).

Pour les autres ordonnées supérieures, c'est la même chose que dans la fig. 1. Au-dessous de la base, on voit qu'à l'ordonnée

LL' correspond le produit - LL'x(L'K'— ■ L'A) = - LL' X AK'

= 1 LL'X(OK'— OA); etc.

Dans la fig. 3, les aires doivent être ajoutées tant que les projections des sommets ne rétrogradent pas vers l'origine 0 des

(') Les produits écrits dans les colonnes sont les aires doublées, comme on l'explique plus loin. On inscrit néanmoins es produits sans les diviser par 2, parce qu'il est évidemment plus simple de diviser lo résultat final par 2 que de diviser tous les produits séparément.

abscisses ; il en est ainsi jusqu'au sommet F. A partir de ce sommet, les aires sont en moins, c'est-à-dire doivent être retranchées de eelles qu'on a déjà calculées-, or, à partir de là, les abscisses vont en effet en diminuant et les différences s'évaluent en sens contraire.

Remarque. On peut évidemment prendre le pied de la première ordonnée à gauche pour origine des abscisses. Il convient au moins de prendre l'origine 0 très-rapprochée de cette première ordonnée. Nous l'avons placée un peu trop loin dans notre première figure; la distance OA est trop grande.

Quand il y a plusieurs bases on fait un tableau analogue pour cli ac une.

Si nous nous sommes étendu sur la question précédente, c'est que c'est la principale, ou pour mieux dire l'unique question de l'arpentage. On va voir, en effet, comme nous l'avons annoncé, que la méthode s'applique aux terrains terminés par des lignes courbes.

101. Troisième cas. Le contour du terrain est une ligne courbe, ou comprend une ou plusieurs lignes courbes.

Quand le terrain est long et étroit, on y trace une base.

(Y. l'île de la planche IV, page 61). Quand il est étendu en tous sens, on y inscrit une série de bases qui le décomposent en figures à contour rectiligne et en figures telles que AA'.

Pour mesurer une figure telle que AA'LL/, on peut opérer

comme il suit. On élève sur la buse des perpendiculaires assez nombreuses et assez rapprochées pour que les parties interceptées de la courbe puissent être, sans trop grande erreur, considérées comme des lignes droites. Les perpendiculaires décomposent le terrain en trapèzes qu'on considère comme ayant les quatre côtés rectilignes. Le terrain ainsi décomposée, on opère exactement comme dans le cas précédent; pour plus de simplicité et de régularité on applique la méthode que nous avons indiquée n° 100.

Ï02. On opère ainsi quand la courbure du contour est telle qu'on peut plus écarter les perpendiculaires dans certains endroits que dans d'autres.

Quand la courbure est partout aussi prononcée, comme dans la figure aAGg, il est plus simple et plus régulier de diviser la base en parties égales. On applique alors la règle suivante :

Règle. On divise la base préalablement mesurée en un certain nombre de parties égales (*). A chaque point de division on élève une perpendiculaire jusqu'à la courbe. Si la distance ab = o de deux perpendiculaires est assez petite, chacun des arcs interceptés de la courbe peut être considéré, sans trop grande erreur, comme une ligne droite et la figure se trouve décomposée en trapèzes ordinaires ayant tous la même hauteur o. Cela posé si on appelle yu, V\- y.' ••• #3 les diverses ordonnées Aa, B6, etc., Y leur somme et S l'aire de la ligure proposée aAGg, on trouve d'abord que

S = ;x^ + 5x^ + 5x^ + ... + ;xy-7y"

puis en réduisant

S^Sx^ + ^ + ^ + ^+.-. + ^ + l);

\ Voir plus loin le 1er problème du chapitre Partage des terrains, page 78.

et enfin S = oX(y-^] (i)

L'aire d'une figure telle que aAGg, dont la base a été divisée en parties égales, a pour valeur approchée une des parties de la ban1 multipliée par la somme de toutes les perpendiculaires diminuée de la demi-somme des perpendiculaires extrêmes.

Remarque. La formule (I) s'applique encore quand la courbe part de la base ou s'y termine; il suffit d'y faire y0=Q ou y„=0.

lOô. Formule de Robert Simpson. Voici une autre formule un peu plus compliquée, mais qui donne autant d'approximation avec moins de perpendiculaires, ou si on veut, une plus grande approximation avec le même nombre de perpendiculaires (*). Pour appliquer cette formule, il faut diviser la base en un nombre pair 2n de parties égales.

L'aire à évaluer est égale au tiers d'une division de la base multipliée par la somme des perpendiculaires extrêmes augmentée de 4 fois la somme des perpendiculaires de rang impair et de 2 fois la somme des perpendiculaires de rang pair.

Avec cette formule, il suffit d'un nombre assez restreint de perpendiculaires pour avoir la surface cherchée avec une approximation suffisante.

L'application des deux formules précédentes n'offre aucune difficulté.

i(M. Autre méthode. Voici encore une méthode peut-être un peu moins sûre, mais généralement plus expéditive pour calculer l'aire d'un terrain à contour curviligne.

{") Cela tient à ce qu'en établissant cette formule on t'ait en plus ou en moins des compensations qui atténuent notablement l'erreur commise en considérant simplement comme dans la méthode précédente les arcs de courbe comme des lignes droites. Nous démontrerons cette formule dans le supplément.

AUI'ENTAGE.

On trace à l'aide de jalons des alignements AB, BC, CD, ..., de

manière à déterminer un polygone ABCDEFG dont la surface soit égale, à peu de chose près, à celle du terrain considéré. Pour cela, on choisit les points A, B, C, ..., de manière que les parties retranchées soient compensées par les parties ajoutées. Un peu d'habitude suffit pour établir les jalons de manière à opérer cette compensation. Gela fait, on détermine l'aire du polygone que l'on regarde comme celle du terrain.

10«5. Arpenter un terrain dans lequel on ne peut pénétrer ou tirer des lignes.

Enfin, on doit souvent arpenter certaines superficies, comme un bois, une pépinière, un marais, un étang, une récolte sur pied, etc., dans lesquelles il n'est pas possible de pénétrer, de tirer des lignes, d'élever des perpendiculaires ; alors on ne peut plus employer les procédés que nous avons indiqués. Voici comment on y supplée. Soit ABGDE un terrain dans lequel on ne peut pénétrer. On

commence par envelopper ce terrain dans un rectangle ou dans un trapèze, comme il est indiqué dans les figures suivantes. On détermine la surface de la figure auxiliaireMNPQ,puiscelledes parties A A'EE',EE'QD,... extérieures au terrain que l'on veut mesurer. On retranche ces dernières; la différence est évidemment l'aire cherchée. (V. comme second exemple l'étang de la pi. V, p. 62.)

Remarque. Nous répéterons, en terminant, que l'arpenteur doit en général mettre beaucoup d'ordre dans son travail, soit pour inscrire, soit pour employer les longueurs mesurées sur le terrain.

1. Nous ne pouvons traiter cette question d'une manière générale, les conditions du partage et la forme du terrain pouvant varier d'une infinité de manières. Nous nous contenterons de traiter quelques exemples de manière à mettre le lecteur sur la voie pour la résolution des questions de ce genre.

Nous considérerons les partages comme devant être faits, à l'aide de la chaîne et de l'équerre, sur le terrain même, non sur le plan et dans le cabinet. C'est à ce point de vue que nous nous sommes placé pour résoudre les questions suivantes.

Nous indiquerons cependant dans des notes la manière de résoudre les questions proposées en s'aidant du plan du terrain. Si le plan est fait d'avance, il sera souvent plus court d'exécuter sur le papier les opérations nécessaires pour diviser la figure du terrain suivant les conditions proposées, puis de tracer les lignes de partage sur le terrain d'après leur position sur le plan. Dans les cas difficiles, il peut même être avantageux de dresser le plan tout exprès ou au moins d'en faire le croquis sur le papier; on voit plus aisément ce qu'il y a faire pour résoudre la question proposée; la question résolue, il n'y a plus qu'à tracer les lignes de partage sur le terrain.

2. Problème, Diviser une droite AB en parties égales. Par ex. : En 5 parties égales :

On mesure la droite donnée ÀB. Oil divise la longueur trouvée par 5; puis jpfl on porte sur AB, à partir de A et consécutivement, cinq longueurs égales à ce cinquième, en marquant par un piquet ou par un signe quelconque l'extrémité de chaque longueur.

Applications. La longueur de AB est 303m,«v>. On divise cette longueur par 5; le quotient est 60r",71. On porte successivement sur AB, à partir de A; cinq longueurs égales à 60m,71.

3. Problème. Diviser une droite donnée AB en parties proportionnelles à des nombres donnés, ou suivant des conditions indiquées quelconques.

On mesure la droite donnée. On partage par le calcul la longueur trouvée en parties proportionnelles aux nombres donnés, ou suivant les conditions fixées [Arithmét. ou Algèbre). On porte les longueurs trouvées sur AB, à partir du point A et consécutivement, dans l'ordre indiqué par l'énoncé même de la question, en ayant soin de marquer par un piquet ou par un signe quelconque l'extrémité de chaque longueur.

Application. La longueur de AB est de 32-in,,72; on doit la diviser en parties proportionnelles aux nombres 2, 3 et 7. C'est un calcul d'arithmétique :

304 72x^ 2 + 3 + 7 = 12; ire partie " ' ~ = 5-lm, 1 2 ;

2e partie ~ = 81'», 18 ; 3e partie ~*'' = 189«',42 .

A l'aide de la chaîne on porte successivement ces trois longueurs sur AB à partir de A (*).

4. Problème. Déterminer dans l'intérieur d'un triangle un point tel que si on le joint aux trois sommets du triangle, celui-ci soit divisé en parties équivalentes.

On divise un des côtés AB en trois parties égales, BD, DE, EA

(n° 2). On mène par le point D une parallèle à BG, et par le point E une parallèle à AG. Le point 0 où les deux parallèles DH, EF se rencontrent est le point demandé ; on mène les lignes OA, OB, OC, et le partage est effectué.

{*) Les questions des n*" 2 et 3 se résolvent sur le plan du terrain comme il est indiqué dans le 3e livre de Géométrie, n" 163 et loi. La division de la ligne ab du plan effectuée, on mesure les parties obtenues, et on porte ces parties ramenées à la grandeur du terrain sur la ligne AH.

Démonstration. Abaissons la perpendiculaire AI sur BC. La ligne DH parallèle à BC divise toutes les lignes qui vont de A à BG en parties proportionnelles. BD étant le tiers de AB, IK est le tiers de AI. Le triangle OBG a même base BG que le triangle proposé

et une hauteur trois fois moindre; OBG = - ABC. On prouve de

même que OAC == - ABC. OAB est évidemment le troisième tiers. o

On détermine de même un point O tel que si on le joint aux trois sommets du triangle, celui-ci soit divisé en parties proportionnelles à des nombres donnés^ 3, 5 et 7 par exemple.

On partage l'un des côtés BA en parties proportionnelles

aux nombres 3, 4 et 5. (V. n° 3.) Supposons que BD soit les

— de BA, DE les — , et AE les — - (figure précédente). On

mène par le point D une parallèle à BC, et par le point E une parallèle à AC; ces deux parallèles DH, EF se coupent en un point 0 qui est le point cherché. Les triangles OBC, OAC, OAB sont

proportionnels à 3, 4 et 5; en effet, BA étant les — de BA, IK

est les — de AI: par suite OBG = — de ABC. On prouve de i 2 I 2

même que OAC = — de ABC. Le reste OAB = ABC — — ABC 12 12

= i ABC.

On peut déterminer le point 0 de manière que les triangles OBC, OAC, OAB aient les surfaces données } par ex. : 25ares,40; 18ares,45; 15arcs,85. ABC est la somme de ces superficies. On mesure l'un des côtés AB; on divise par le calcul la longueur trouvée en parties proportionnelles aux superficies données, 25a,40; 48", 45; I5a,85; c'est-à-dire aux nombres 2540, 4845, 1585. On porte consécutivement les trois longueurs calculées à partir de B; soient BD, DE, EA les trois parties; puis on achève comme précédemment.

La somme des superficies est 59a,70. Il résulte de la construction que le triangle OIÎC est au triangle ABC dans le rapport de 25%iO à 59a,70; puisque AUC = 50%70, OBC = 25a,40. Ainsi des autres.

PARTAGE DES TERRAIS.

Remarque. On peut donner à chaque partie désignée du triangle ABC la base que l'on veut. Nous avons donné tout à l'heure BC pour base au triangle qui correspond au nombre 3 5 nous aurions pu donner cette base au triangle qui correspond au nombre 7; il suffisait de compter à partir de B la partie de AB proportionnelle à 7. De même pour le dernier problème ; on peut donner là base que l'on veut au triangle qui a l'une des superficies données.

5. Problème. Diviser un triangle en tro'ts parties équivalentes par des lignes partant du même sommet A.

On partage le côté opposé BG en trois parties égales BD, DE, EC

(n° 2) ; puis on trace les lignes AD, AE. Les triangles ABD, ADE, AEG, ainsi formés, sont équivalents comme ayant des bases égales et la même hauteur.

On peut diviser ainsi le triangle en autant de parties égales que l'on veut; il suffit de diviser la base BG en ce nombre de parties égales, puis de joindre le sommet A aux points de division.