Les deux parts à faire s et s'' sont inégales
On sépare une 4" portion égale BCDG à s, à partir de BC, en suivant la marche indiquée n° 16. Le reste BGA est la seconde parts s', puisque le trapèze est égale à s -f- s'-
55. Problème. Partager tin trapèze en parties égales par des lignes joignant les deux bases.
Par ex. : en A parties égales. On divise chacune des bases en
4 parties égales; on numérote les points de division à partir du même côté AD. Puis on joint les points de division de même rang, et le partage est effectué. En effet, les parts sont des trapèzes de même hauteur que le trapèze donné; leur rapport est donc celui des sommes de bases.
. iT, , r. AB + DG
Or AE -f De = ■ — , etc.
54. Les deux questions les plus usuelles du partage des terrains sont :
P Celle que nous avons complètement résolue dans les nos 1G et suivants.
2° Celle-ci : Séparer dans un terrain une ou plusieurs parties de grandeurs données par une ligne ou par des lignes ayant une direction donnée ou des directions données.
On résout cette seconde question générale en résolvant une ou plusieurs fois cette question élémentaire : Diviser un triangle ou un trapèze en parties proportionnelles à des nombres donnés par une parallèle à sa base ou à ses bases. Nous avons résolu cette question élémentaire pour le cas d'un triangle (n05 9 et suivants); nous allons la résoudre pour un* trapèze.
5#. Problème. Diviser un trapèze ABGD en parties proportion-
nelles à deux nombres donnés par
une parallèle aux bases.
Soient m et n les nombres don-
ABEF m nés; on veut que =— .
1 PtCD n
Opérations. On mesure les bases
AL5, CD; soient b et B les longueurs
trouvées. On calcule une longueur
On porte cette longueur a? trouvée sur DC à partir d'une extrémité D; soit DI=.r. On mène JE parallèle à DA, puis EF parallèle à DC, et le partage est effectué.
Exemple. Partager le trapèze ABCD en parties proportionnelles
. ' ABEF 3
aux nombres 3 et 5;
FEGD
On calcule x = \/ - - ; on prend DI — x; etc.
Démonstration. Supposons le problème résolu et soit EF la ligne départage. Imaginons les côtés DA, CB prolongés jusqu'à leur rencontre en 0, et désignons le triangle OAB par t, OFE par T, ODG par T, et EF par x. ABEF = T — t; FEGD = f — T'; on doit avoir
Les triangles semblables t, T", T sont proportionnels paix carrés de leurs côtés boinologues
— = — = — = un certain nombre À':
d'où .t — ù-xk; T = x*xk; T = B,xA\
En substituant ces valeurs dans l'égalité [\], on trouve
x-xk — //xk 3 . . , , . , X* — lr 3
T7z ; 5 r = T» qui se réduit a — ; = -.
Wxk — x-xk 5 ' B- — x- 5
D'où résulte 5,r2 — 562 = 3B2 — 3x~. Ajoutons des deux paris 5i2-}- 3x2; on trouve ainsi après réduction
5x-2 + 3a;2 == 3B2 + 56% ou a2(3-|-5) = 3Bï + 5623
d'ou
B2x3 + 62xri
et enfin œ== \/L ^"'' " """. G. Q. F. D
COUKS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES.
50. Ce raisonnement est général ; on peut le faire sur des nombres quelconques. Si l'on désigne en général les nombres donnés par les lettres m et n , en raisonnant sur ces nombres m et n comme nous l'avons fait sur 3 et 5, c'est-à-dire en posant d'abord
= — et continuant de même, on trouve aisément la formule
-Ve
m -f- n ci-dessus indiquée.
57. Problème. Diviser un trapèze en deux parties égales par une parallèle à ses bases.
Ce problème n'est qu'un cas particulier du précédent. En effet, diviser le trapèze en deux parties égales, c'est le diviser en parties proportionnelles à deux nombres égaux; c'est le cas de m = w, ou m = f, n=\. Remplaçons donc n par m, ou faisons m, = \ et n = 1 ; on trouve, de l'une ou l'autre manière, après réduction,
Bs + V-
De là cette règle :
Opérations, On mesure les deux bases AB, DC; soient h et B
les longueurs trouvées; puis on calcule une longueur
Cette lon-
gueur calculée, on la porto sur la grande base DC à partir d'une extrémité D; soit ^ = DI. Par le point I on mène une parallèle El à DA, à la rencontre du côté BC en
E. Par le point E on mène EF parallèle aux bases CD, AB, et
le partage est effectué.
Application. Soit B = 45'1,,20; b = 3Gœ,40.
Ce problème étant très-simple en lui-même, on peut demander de le résoudre directement. Nous allons le faire à titre d'exercice.
Supposons le problème résolu et soit EF la ligne de partage. Imaginons qu'on prolonge les cotés non parallèles DA, CB jusqu'à leur rencontre en 0. Désignons, pour abréger, le triangle OAB par t , OFE par T', OCD par T et EF par x. Le trapèze ABEF = T — t; FECD — T — T. On demande que ABEF = FECD, ou T—t = T — T. (4)
Les triangles semblables f, T, T sont proportionnels aux carrés de leurs côtés homologues.
z-t = —=:—=: un certain nombre k.
Donc T = B2x/''; T=.x*Xk et tz=b~xL Substituant ces valeurs dans l'égalité (1), on trouve
x- X k — b- X k — B2 X k • — x- X k, qui se réduit à x* — b- = B2 — x~, (2)
on
puisqu'on peut diviser tous les termes par k.
En ajoutant 6--j-.r2 aux deux nombres de l'égalité (2) trouve, réductions faites,
2j:^B--f-63; d'où xf = ^-~ et
d'où la construction indiquée.
58. Problème, Partager un trapèze eu un certain nombre e?< parties équivalentes par des parallèles à ses bases.
Par exemple en 5 parties équivalentes.
Ce problème se ramène au premier (n° 35). En effet, supposons le problème résolu et soient FE, HG, Kl, NM les lignes de partage. Chacun des trapèzes partiels ABEF, FEGH, etc., doit être la .vie partie du trapèze donné ABCD; on conclut de là que
/Uf
\0h COURS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.
ABEF=pABCD, FECD=£aBCD; donc ^£=7.
c> q ARC H 9
ABGH = = ABCD. HGCD=-r ABCD; donc £— = - . 5 5 HGCD 3
3 5 ABIK *} ABIK = -ABCD, KICD = -ABCD; donc — — ssl
