KIL.U
4 1 ABMN 4 ABMN = - ABCD, NMCD = - ABCD; donc ~— -— = -.
5 5 JNMCD 1
C'est-à-dire que la ligne EF doit diviser le trapèze donné ABCD en parties proportionnelles aux nombres 1 et 4 : EG doit diviser le même trapèze en parties proportionnelles aux nombres 2 et 3; etc. Chacune des lignes EF, GH, IK, MN peut donc être calculée à l'aide de la formule (a) page 101 .
Pour EF, m = 1, n= i; EF = V/"+f X4
Pour GH, m = 3, n = 3; GH = * /B'x2 + &ax3
Pour IK, m = 3, n = 2; IR = ./B2X 3 + ^x2
, /B2 X 4 + ôa Pour MN, m = i, n — 1 ; MN == W „ ^ .
Opérations. On mesure les bases AB, CD; soient b, B les longueurs trouvées. On calcule les longueurs EF, GH, IK, MN, d'après les égalités précédentes. On porte les longueurs trouvées sur DC à partir de D; soient DE', DG', Dl', DM' ces longueurs. On mène les parallèles E'E, G'G, l'I, MM à DA, à la rencontre de BC. Enfin on mène les parallèles EF, GH, IK, MN à BC, et le partage est effectué.
T>9. Problème. Partager un trapèze ABCD en parties proportionnelles à des nombres donnés par dos parallèles à ses bases. Par exemple aux nofinbrcs .'5, ">. (», 7 et 1 1-
Soient EF, GH, IK, MN les lignes de partage. Désignons par s
le - de la première partie ABEF.
ABEF FEGH
HGIK
KIMN
NMCD
Par conséquent ABEF — 3s; FEGH = as; HGIK = 6s; KIMN = 7s; NMDC=lf*
Additionnons tous ces trapèzes; ABCD = 32s. Cela posé, il est évident que
ABEF = 3s, et FEDC = 29s
ABGH = Ks, et HGDC=2is ABIK = lis, et KIDG = 18s ABNM = 21s, et NMDC = 1 Is.
La ligne EF doit donc diviser le trapèze donné ABDC en parties proportionnelles aux nombres 3 et 29; GH doit le diviser en parties proportionnelles aux nombres 8 et 24 ; etc. On peut donc calculer chacune des lignes EF, GH, IK, MN à l'aide de la formule (a) (page 10 i.
Pour EF, m = 3, n = 29; EF Pour GH, m — 8, n = 24; GH Pour IK, m = 14, n =18; IK
B2x8 + 6âx24
. . /Lvx2l+//-'Xll V 32
Pour MN, m = 21, n = ll; MN
Opérations. On mesure les bases AB, CD ; soient b et B les longueurs trouvées. On calcule les longueurs EF, GH, IK, MN d'après les égalités précédentes. On porte ces longueurs trouvées sur DC à partir de l'une des extrémités C; supposons que CE', CG', CI'.
CM soient ces longueurs. On mène les parallèles E'E, G'G, etc., à GA; puis les parallèles EF, GH, IK, MN à CD, et le partage est effectué.
40. Remarque. On ramène donc facilement au problème du n° 35 toutes les questions où il s'agit de diviser un trapèze en parties proportionnelles à des nombres donnés quelconques entiers, fractionnaires ou mêmes incommensurables. (Les nombres incommensurables, tels que \^2, ^3, etc., se remplacent par des valeurs approchées. )
Quand les nombres donnés sont fractionnaires, il est commode de les réduire au même dénominateur, puis de supprimer les dénominateurs.
Soient par ex. : 2 2/3, 5 '/4, 7 !/3 et 10 les nombres donnés. On réduit toutes les fractions au même dénominateur
2ÔÔ- r>60> 7iToel,n-
Puis on réduit tous ces nombres en expressions fractionnaires,
"ÔÔ' 60' ~6Ô~' "60 "
Il faut partager le trapèze ABDC en parties proportionnelles aux numérateurs 160, 315, 444 et 600. En effet, si nous appelons s la 00e partie du trapèze partiel ABEF,
ABEF= 160$; FEGH=315s; HGlK = 4U.s; IKDC— 600s.
A 1 . Problème. Partager un trapèze en plusieurs parties de grandeurs données par des parallèles à ses bases.
Par ex. : en parties égales à 20are%48; 19a,58; 32%27. Le trapèze donné a pour superficie
Le problème revient évidemment à partager ce trapèze en parties proportionnelles aux nombres 29,48; 19,58; 32,27, ou bien à -2'.tiS, 195S, 3227 ; ce que nous avons appris ;i faire (n° 39).
AI, Problème. Détacher d'un trapèze dorwié une partie de grandeur donnée par une parallèle à ses bases.
Par ex. : une partie égale à 27ares,84.
On mesure la surface du trapèze donné; supposons-la égale à f>4a.80, on retranche de cette aire les 27a,84, il resté 36%96. Le trapèze doit être divisé en deux parties égales à 27\8i et 36a,9G, c'est-à-dire en parties proportionnelles à 27,84 et 3G,96; ce que nous savons faire (n° 41 ou n° 39).
On suit la même marche pour séparer dans un triangle donné une portion donnée par une parallèle à sa base.
En général, pour séparer d'un trapèze ou d'un triangle donné plusieurs parties de grandeurs données, on additionne ces aires partielles, et on les retranche de l'aire de la figure donnée préalablement mesurée; le reste est une dernière partie. On partage la figure donnée en parties égales aux aires données et à ce reste.
45. Problème. Diviser un trapèze en parties de grandeurs données par des perpendiculaires à ses bases.
Par exemple, en cinq parties égales à 2oare%80, 28a,40, 32a,r>i, 26a,4G et 17% 42. Le trapèze est la somme de ces parties, 130%62.
On abaisse la perpendiculaire A A', et on mesure le triangle ADA' = -
DA' X AA'. Supposons-le égalà20ar48;ilfaut.V,:i2 pour compléter la lre partie.
Ayant mesuré A A', on calcule une longueur x telle que AA'x#=532 (*). On porte cette longueur x trouvée sur A'C; soit x=k'¥; on élève la perpendiculaire FE. Le quadrilatère ADFE est la lre partie; il vaut 20a,48+5\32=25a,80. On connaît EF = AA', on calcule une longueur y telle que EF x y = 2840 ; on porte la longueur trouvée sur FG. Soit FK = y; on élève la perpendiculaire HG ; le rectangle EFGH = EF XFH = EF Xy =
(*) Nous écrivons 532 sans virgule, parce que x est un nombre de mètres et que 5ares,32=532mètres carrés. Cette remarque est importante; elle s'applique à tous les cas analogues.
28", iO; c'est la 2e partie. On détermine de même la 3e partie GHKI; on calcule une longueur z telle que GHxz = 3254 (GH=AA'); on porle z sur HC; z = UK, et on élève la perpendiculaire Kl. On opère de même pour déterminer la 4e partie; on calcule / telle que IKx^ = 2646; supposons que t surpasse 1BKB'. On évalue le produit IKxKB'; supposons-le égal à 2420; le rectangle IKU'B = 24B,20j il manque 2%26. On mesure le triangle
BCB' = .-BBx BB', et on le divise en deux parties égales à 2°,26
et 17°, 42 par une parallèle LM, à sa base BB'; IKJV1L est la 4e partie du trapèze, et LMC la 5e partie.
Remarque. Le premier triangle mesuré peut se trouver plus grand que la première portion à faire ; c'est, par exemple ce qui arriverait dans notre exemple si l'on commençait la division du terrain par la droite. Le triangle CBB' étant plus grand que la Jre partie 17",42, on retranche 17%42 de l'aire du triangle; il reste 2°,2G. On divise le triangle en deux parties égales à 17a,42 et 2", 26 (n° M). Cette division opérée, on complète la 2e partie qui doit être de 26%4G, pu ajoutant à BB'LM = 2n,26 le complément 24°,20; on calcule une longueur t telle que BB' x t = 2420 ; etc.
44. Problème. Diviser un trapèze en parties égales par des perendiculaires à ses bases.
Par exemple, en cinq parties égales.
On mesure l'aire du trapèze = - — X A À'; supposons- la
égale à 124" ,80. On divise cette aire par 5; le quotient est 24", 90. On sépare successivement 5 aires égales à 24",96 en suivant la même marche que dans le cas précédent.
45. Problème. Diviser un trapèze en parties proportionnelles à des nombres donnés par des perpendiculaires à ses bases.
Par exemple aux nombres 3, 5, 7, \ I et 14.
On mesure l'aire du trapèze. Supposons-la égale 328a'",40. On partage cette aire par le calcul en parties proportionnelles à 3, 5, 7,11 et 14. Puis on divise le trapèze en parties égales aux aires calculées par des perpendiculaires à ses bases (n° 43),
La ire partie = 8",21 x 3 = 24a,53; la 2<-, 8a,2lXp = 41fl,05, etc.
On divise le trapèze en parties égales à 24a,63; 41 ",05, etc. (n° 43).
46. Si les nombres donnés étaient fractionnaires, ou s'il y avait parmi eux des nombres fractionnaires, on réduirait tous les nombres donnés sans exception en expressions fractionnaires de même dénominateur, puis on partagerait le trapèze en parties proportionnelles aux numérateurs.
47. Problème. Diviser un trapèze en parties de grandeurs étonnées par des obliques à ses bases ayant une direction donnée, ou parallèles à une ligne donnée.
Par exemple en 5 parties 'égales à 25", 80 ; 28", 40, etc., comme au n°43.
Un mène par l'un des sommets A ou D une ligne Al (intérieure
