P I FA. H

au trapèze) ayant la direction donnée, ou parallèle à lu ligue donnée, et on abaisse la perpendiculaire AA'. On mesure l'aire du

triangle ADI = - Dix AA'. Supposons cette ère égale à 10a,2o,

on soustrait cette aire de 25". 80, il reste io",o5; on calcule une longueur a; telle que AA'X#=I555. On porte cette longueur x trouvée sur IC, soit x = IF, et on mène FE parallèle à AI. Le parallélogramme AEFI = AA'xlF = lo°,55, et le quadrilatère ADFE = ]0,25 + lSa,5o = 2o",80. On détermine les autres parties de la même manière qu'au n° 43, seulement au lieu de perpendiculaires, on mène par les points II, K, etc., des parallèles à AI.

Même remarque qu'au n° 43 pour le cas où le triangle ADI serait plus grand que la lre partie. Voyez d'ailleurs le triangle BB'G.

AU. Problème. Diviser un trapèze en parties égales par des obliques à ses bases ayant une direction donnée ou parallèles à une ligne donnée.

On suivra la même marche qu'au n° 4i; seulement au lieu de perpendiculaires, on mènera des obliques parallèles à la direction donnée.

49. Problème. Diviser un trapèze en parties proportionnelles à des nombres donnés par des obliques à ses bases ayant une direction donnée.

On suit la même marche qu'au n° 15; la seule différence consiste en ce qu'on mène des lignes parallèles à la direction donnée au lieu de perpendiculaires.

Remarque. Notre méthode est tout à t'ait générale; on peut même donner aux lignes de partage des directions différentes.

En effet, si la \" ayant la direction EF, la 2e dé-

■ vait avoir une direction

différente , on n'aurait qu'à diviser le trapèze restant EFCB en parties de grandeurs données par des lignes ayant une direction donnée. Si la troisième ligne de partage avait une nouvelle direction donnée, ce ne serait pas plus difficile.

oO. Problème. Diviser un quadrilatère ABCD en parties de grandeurs données par des parallèles à un de ses cotés. DG.

Par exemple, en parties égales à 25ore*,80; 28*,40, etc., comme

au n° 13. < >n mène par le point A ou par le point B une parallèle à DG (intérieure au quadrilatère). On mesure le triangle ABI=- AIxBB';

supposons-le égal à 8",4-5. On retranche cette aire de 25" ,80; il reste 17 ',35. On partage le trapèze A1CD cinq parties égalés à 17", 35; 28",-40; 32", 5i, etc., par des parallèles à ses

bases AI, DC, comme il a été expliqué n° 41. La première ligne de division du trapèze étant EF, la première partie du quadrilatère égale à 25", 80 est ABFE.

Si le triangle ABI surpassait la première part, par ex. : ABI = 34",48; on en détache une partie égale à 25",80 par une parallèle à sa base comme il a été expliqué n° 42; soit MN la ligne de division (faites la figure). Le trapèze MNAI=8*,68; on retranche cette aire de la deuxième partie indiquée 28",40 ; il reste 19", 72. On partage le trapèze AICD en quatre parties'égales à 19", 72; 32*, 56; 26*,46; et 17", 42.

Si le triangle ABI équivalait à plusieurs des parties indiquées, ce qui se voit facilement, on en détacherait ces diverses parties par des parallèles à ses bases. Il y aurait généralement un reste que l'on retrancherait de la première des parties non comprises dans ce triangle ABI. On achèverait en divisant le trapèze AICD en parties égales au résultat de cette soustraction et aux autres parties restantes par des parallèles à ses bases.

51. Problème. Diviser un quadrilatère quelconque en parties de grandeurs données par des lignes ayant une direction donnée. Par exemple, en parties égales à 25",80; 28", 40, etc.; comme au n° 43. Par le point A ou par le point B on mène une parallèle AI à la direction donnée (dans le quadrilatère). Cette parallèle détermine un triangle ABI que l'on mesure; supposons-le égal à 8",45. On retranche cette aire de 25",80; il reste 10", 35. Il faut diviser le quadrilatère AICD en cinq parties égales à 10", 35; 28" ,40; 32,54, etc.; par des parallèles à un de ses côtés AI. ce qui est le problème précédent. Pour cela, ayant mené la droite DE parallèle à AI, on mesure l'aire du triangle DEC; supposons-la égale à 12",36; on retranche cette aire de la cinquième part à faire, 17",42; il reste 5",00. Il reste à partager le trapèze AIED en cinq parties égales à 1G"35; 28",40;..., et 5", 00 par des parallèles à ses bases (n° 41). Si la première ligne de division supérieure du trapèze est MN et la dernière inférieure PQ, la première partie du quadrilatère est ABNM, et la dernière DGQP.

Si le triangle ABl surpassait la première partie indiquée, ou le triangle DKG la dernière, on opérerait d'une manière analogue à ce qui a été expliqué pour le même cas du problème précédent.

o2. Problème. Diviser un quadrilatère en un certain nombre de parties équivalentes par des lignes parallèles à un de ses cotés, ou bien par des lignes ayant une direction donnée.

En cinq parties équivalentes, par exemple :

On mesure le quadrilatère; supposons-le égal à 324", 50. On divise cette aire par 5; le quotient est 6i%90. On partage le quadrilatère en cinq parties toutes égales à 6ia,90 comme il vient d'être expliqué dans l'un ou l'autre des numéros précédents.

o5. Problème. Diviser un quadrilatère en parties proportionnelles à des nombres donnés par des parallèles à un de ses côtés, ou bien par des ligues ayant une direction donnée.

Par ex. : en parties proportionnelles aux nombres 3, 5, 7, 11 et 14. On mesure le quadrilatère; supposons-le égal à 328a,es, 40. On partage cette aire par le calcul en parties proportionnelles aux nombres 3, 5, 7, 11 et 14 (Arithmétique).

La lre partie est 2i",G3; la 2e 41ff,05, etc.

On partage le quadrilatère en cinq parties égales à 24",(i3; ir',05, etc., suivant les autres conditions données.

54. PnoBLÈME. Diviser un triangle en parties de grandeurs données par des droites ayant une direction donnée.

On mesure ce triangle; puis on le traverse par une droite 1\1N

ayant la direction donnée. On mesure le triangle obtenu AMN.

S'il contient une ou plusieurs dos portions données qui doivent être prises dans cette partie du triangle, on en détache ces portions par des parallèles à sa base MN, comme il a été expliqué nrs 42 et 14. Il y a généralement un reste; on le retranche de la première des portions qui restent à former. Puis on partage le quadrilatère IN1NGB par des parallèles à son côté AIN en parties égales au résultatde cette soustrac-

tion et aux autres portions données que l'on n'a pas encore considérées.

Si l'aire AMN était inférieure à la première des portions à former dans cette partie du triangle ABC, on retrancherait AMN de cette première portion. Puis on diviserait le quadrilatère MNBC par des parallèles à MN en parties égales au reste de cette soustraction et aux autres portions données.

t>£>. Problème. Détacher d'an triangle ou d'un quadrilatère des portions de grandeurs données par des lignes ayant une direction donnée.

On mesure le triangle ou le quadrilatère donné. On retranche de l'aire trouvée la somme des portions données. Le problème revient évidemment à diviser le triangle ou le quadrilatère en parties égales aux portions données et au reste de la soustraction.

o(>. Problème. Diviser un polygone quelconque en parties de grandeurs données par des lignes ayant une direction donnée. On traverse le polygone par une ligne MN ayant la direction

donnée, de manière à en détacher un triangle ou un quadrilatère, que l'on mesure. Si l'aire trouvée contient une ou plusieurs des portions qui doivent être formées dans cet endroit du polygone; on sépare ces portions par des lignes ayant la direction donnée, comme il vient d'être expliqué dans les numéros précédents. Ces portions détachées, il reste, en général, une certaine partie du triangle ou du quadrilatère; ce reste IMNH s'ajoute à la seconde partie du polygone donné; le tout forme un polygone ABCIHPG dans lequel on doit faire les autres portions données. On doit évidemment continuer en opérant de la même manière, c'est-à-dire qu'on mène une nouvelle parallèle à IH qui sépare du polygone ABCIHPG un triangle

ll/l

ou un trapèze que l'on mesure. On sépare dans ce triangle ou dans ce quadrilatère, par des parallèles à sa base ou à ses bases, les portions données suivantes qu'il peut contenir. Cela fait, il reste en général un polygone dans lequel il faut former les portions qui restent encore à faire.

Si le triangle ou le quadrilatère détaché soit du premier polygone, soit d'un autre, était moindre que la première des portions à former dans cet endroit, on retrancherait son aire de cette première portion. Puis on partagerait le polygone restant après ce triangle ou ce quadrilatère en parties égales au reste et aux portions non encore formées.

Le problème de la division d'un polygone en parties de grandeurs données, par des lignes ayant une direction donnée, est donc résolu de la manière la plus générale.

57. Problème. Diviser un terrain dont le contour est irrégulier, en parties de grandeurs données par une ligne ou par des lignes ayant une direction donnée.

On emploie pour cela la même méthode de tâtonnement qu'au n° 18 de la Pe partie. On trace une ligne MN ayant la direction donnée qui détache une surface MABCN à peu près égale à vue d'œil à la première des portions qui doivent être formées de ce côté du terrain. On mesure cette aire partielle MABCN comme il a été expliqué dans l'arpentage. Si elle est trop petite, on trace une parallèle M'N' qui sépare au delà de MN une aire MNN'M' qui complète à peu près la première portion. Si cette aire additionnelle était encore un peu trop petite, on tracerait encore une nouvelle parallèle, etc. Si la surface séparée MABCN était trop grande, on la diminuerait de la même manière., en traçant successivement plusieurs parallèles à MN. Supposons que M'ABCN' soit la première portion demandée. Il reste à séparer dans M'N'DEFGH les autres portions indiquées; on opérera de la même manière.

08. Observation générale. Sachant diviser une figure en parties de grandeurs données, on sait la partager en un nombre quelconque de parties égales, ou bien en parties proportionnelles à des nombres donnés; on sait aussi la diviser suivant des conditions quelconques indiquées concernant les grandeurs des portions à faire. On mesure la surface du terrain (arpentage). On divise /wr le calcul (arithmétique ou algèbre) l'aire trouvée suivant les conditions indiquées. Puis on divise le terrain en parties égales aux aires ainsi calculées.

39. Les lignes de partage peuvent avoir des directions diverses.

Le problème n'en est pas plus difficile. On détache une première portion par une ligne ayant la première direction donnée. Cela fait, il reste un terrain duquel on détache une deuxième portion par une autre ligne ayant la seconde direction donnée. Ainsi de suite.

Tous les problèmes que nous avons expliqués dans cet appendice peuvent être résolus sur le plan du terrain dressé à l'avance. Le partage effectué sur le plan, il n'y a plus qu'à tracer sur le terrain, d'après le plan, les lignes qui doivent séparer les diverses portions.

H 6 COURS DE MATHÉMATIQUES APPLlQUÉLS.

1. Le plan géométral d'un terrain est sa projection horizontale réduite à une échelle connue. Cette projection ne suffit pas à faire connaître la forme du terrain quand celui-ci est accidenté ou simplement incliné à l'horizon (V. la fig. 1, page 1); il faut encore connaître les hauteurs au-dessus du plan de projection d'un certain nombre de points du terrain A, B, C,... convenablement choisis et suffisamment rapprochés. Ces hauteurs AA', BB', CC',... et les projections A', B', C',... déterminent complètement les positions relatives des points A, B, C,... et par suite la forme exacte de chaque ligne du terrain avec ses pentes et

ses ondulations. (V. la fig. de la page 1 et la fig. ci-contre.)

2. Le plan de projection (sur lequel est supposé construit le plan géométral) est un plan horizontal quelconque, tout à fait arbitraire. On précise ordinairement sa position en donnant sa distance à un des points du terrain; on le suppose par exemple à GO mètres au-dessous du point A (n° 48), puis on fait le nivellement du terrain (¥).

(*) Les nivellements se fonl ordinairement à propos de l'écoulement et de la conduite des eaux, pour la construction des routes et des chemins de fer. Pour ces divers objets, ce ne sont pas précisément les hauteurs différentes des points du sol au-dessus d'un même plan horizontal qu'il importe de considérer, ce sont leurs distances à la même surface de niveau (V. à la fin de ce cours).

Mais les différences de niveau sont sensiblement égales aux différences de hauteur quand on opère dans certaines conditions que nous avons soin de prescrire; on peut prendre les unes pour les autres sans erreur sensible. C'est pourquoi nous ne parlons dans ces leçons que des différences de hauteur que nous pouvons seules déterminer directement. Les différences de niveau se déduisent d'ailleurs aisément des différences de hauteur quand il y a nécessité de le faire. V. pour cela la note placée à la fin du cours sous ce titre {Surfaces de niveau; niveau vrai, niveau apparent.)

5. Faire le nivellement d'un terrain, c'est déterminer les différences de hauteur d'un certain nombre de ses points considérés deux à deux au-dessus d'un même plan horizontal qu'on appelle plan de comparaison. Avec ces différences et la hauteur donnée AA' de J'un de ces points au-dessus de ce plan, on calcule les hauteurs BB', CC',....,des autres points B, C, D,. .. Par exemple, si la hauteur donnée AA'=;60 mètres et la différence BB' — AA'= 3 mètres, il est clair que B est plus élevé que A de 3 mètres, et que la hauteur BB' de B est 63 mètres.

Les valeurs numériques de AA', BB', CC, s'appellent les cotes de hauteur des points A, B, C.

4- On se sert pour les nivellements de deux instruments spéciaux, le niveau et la mire.

Un niveau sert à indiquer une direction horizontale ou à diriger des rayons visuels à partir du même point dans un même plan horizontal qu'on appelle plan de niveau. La mire sert à mesurer la distance de chaque point considéré du terrain à ce plan de niveau.

5. Il y a plusieurs espèces de niveaux; nous ne décrirons pour le moment que le plus vulgaire qui est le niveau d'eau.

Tout ce que nous ferons avec le niveau d'eau se fait avec les autres niveaux qui servent tous au même objet indiqué plus haut (n° 4). II n'y a de différence que pour la portée de l'instrument, c'est-à-dire la distance la plus grande à laquelle on peut convenablement viser.

Niveau d'eau. Ce niveau consiste en un Ions tube de fer- blanc

redressé en coude et à anale droit à chacune de ses extrémités.

Les deux bouts recourbés, très-courts, sont continués par deux fioles en verre, sans fond, à goulots étroits et à peu près de même diamètre, dont le contact parfait avec le tube est établi par des rondelles de cuivre ou par du mastic. Le tout est rempli d'eau, ordinairement colorée avec quelques gouttes de vin, jusqu'à la moitié ou aux deux tiers environ de la hauteur des deux fioles. Le tube de fer-blanc est supporté en son milieu, et maintenu dans une position à peu près horizontale par une douille conique qui s'applique soit directement, soit par l'intermédiaire d'un genou (V. la fig.), à la tige verticale d'un pied à trois branches semblable à celui qui supporte le graphomètre ou la boussole (Levé, n° 19).

6. Le plan horizontal déterminé par les surfaces libres du liquide dans les deux fioles doit rester le même quand le niveau tourne autour du point de station (*). On reconnaît que cette condition est remplie en faisant faire au niveau un tour d'horizon; la hauteur de l'eau doit rester à peu près la même dans les deux fioles. Si cette hauteur varie sensiblement, c'est que le tube de fer-blanc n'est pas suffisamment horizontal ; on desserre la vis du genou à coquilles et on redresse le tube.

7. Les cercles qui limitent supérieurement les surfaces libres du liquide des deux fioles étant dans le même plan horizontal, les rayons visuels de directions quelconques tangeants à ces cercles sont tous dans ce plan horizontal qu'on appelle plan de niveau.

L'eau mouillant les deux fioles, sa surface libre n'est pas tout à fait plane; elle forme des ménisques concaves; mais les cercles qui limitent ces deux ménisques sont dans un même plan horizontal. Lorsqu'on opère, on s'éloigne à 5 ou 6 décimètres du niveau; de là on voit les deux cercles se dessiner nettement sur les deux fioles. C'est pour les rendre plus visibles qu'on colore légèrement l'eau avec quelques gouttes de vin.

Nous indiquons plus loin l'usage du niveau n° 11) (**).

(■) Pour la réalisation de cette condition essentielle, il importe que les deux fioles aient le même diamètre.

(**) Voici pour compléter ces notions l'indication de quelques autres précautions destinées à rendre plus si\r l'usage du niveau d'eau.

Un niveau d'eau se compose en général de plusieurs parties ; les fioles se montent à vis ainsi que les trois parties du tube principal. 11 importe beau-

Q. De la mire. Il y a des mires simples et des mires à coulisse.

Mire simple. La mire simple est une règle divisée en bois,

longue de deux mètres environ, que l'on maintient verticalement

sur le sol pour mesurer la distance du point où on est à un plan de niveau fnù 7).

coup que ces divers assemblages ne laissent pas perdre l'eau ; autrement , le plan de niveau baisserait continuellement.

Il faut avoir soin de faire sortir les bulles d'air qui restent engagées dans l'eau du tube inférieur, et attendre après l'avoir fait que le liquide soit revenu à son état d'équilibre.

En hiver, on se sert d'eau alcoolisée pour éviter la congélation.

Il faudrait dans les longues stations avoir égard à l'évaporation de l'eau par un grand soleil ou à son augmentation en cas de pluie abondante. Pour remédier à ces inconvénients, on donne aux fioles des orifices étroits qu'il est facile de boucher et qu'on munit de couvercles métalliques qui les protègent d'ailleurs dans les transports.

Toutes les visées d'une même station doivent être faites par la même personne , deux observateurs prenant rarement les mêmes points des onglets pour déterminer leurs lignes de visée.

Cette règle a la forme d'un long prisme à base carrée, terminé inférieurement par un talon en fer T; à ce talon est adaptée une semelle ou pédale P, sur laquelle on appuie le pied pour maintenir la mire verticale. La face postérieure de la mire (fig. i) est divisée en décimètres et en centimètres, sur une longueur de deux mètres à partir de l'extrémité inférieure du talon. (Les décimètres sont seuls indiqués par des chiffres.) Une plaque rectangulaire de bois ou de métal V, nommée voyant, attachée à un collier C de même métal qui embrasse la règle, peut monter ou descendre en avant de celle-ci [fig. 2). Cette plaque est divisée en quatre rectangles égaux par une horizontale et une verticale; deux de ces rectangles, opposés diagonalement, sont peints en blanc; les deux autres en noir ou en rouge. L'horizontale du milieu s'appelle ligne de foi.

Les mires qui servent avec le niveau d'eau ont également leur voyant simplement divisé en deux parties, l'une noire, l'autre blanche, par une horizontale (la ligne de foi).

Le voyant peut être fixé à la hauteur que l'on veut au moyen d'une vis de pression c. La face postérieure du collier est échancrée {fig. 1 ) de manière à laisser voir les traits de division de la règle jusqu'à un trait de repère marqué sur un des côtés de cette échancrure, à la hauteur de la ligne de foi dont il masque le niveau sur la règle divisée. A partir de ce trait de repère et au-dessous, dix autres traits plus petits gravés sur le même côté de l'échancrure indiquent des millimètres.

9. Pour mesurer une hauteur avec la mire quand le voyant est fixé, on lit sur la règle la hauteur indiquée par le trait immédiatement inférieur au trait de repère de l'échancrure, et on ajoute à cette hauteur autant de millimètres qu'il y en a sur le collier entre ces deux traits.

10. Mire a coulisse. Cette mire, qui sert à mesurer les hauteurs de 0 à 2 mètres, et de 2 mètres à 4 mètres, se compose de deux règles en bois ayant chacune un peu plus de deux mètres de long. Une rainure à coulisse est creusée sur une face de l'une B; une languette à rebords fait saillie sur une face de l'autre A. La languette s'engageant dans la rainure, on peut faire monter ou descendre la seconde règle devant la première à l'aide d'un collier b

[fig. 5), attaché au bas de la règle mobile et embrassant les deux règles. La règle fixe est terminée intérieurement par un talon en fer T, qui fait saillie sous la règle mobile; ce talon est muni d'une pédale I\ La règle mobile est terminée supérieurement par

un talon en bois T', qui fait saillie au-dessus de la règle fixe- Deux faces de celle-ci sont divisées en décimètres et en centimètres : 1° La face postérieure large {fig. 4) dont le zéro est à l'extrémité inférieure du talon T; 2° une face latérale étroite [fig. 5) dont le zéro est un peu au-dessus du même talon. Il y a aussi un voyant C [fig. 3), dont le collier peut embrasser les deux règles; la face postérieure de ce collier a est échancrée et divisée comme celle du voyant de la mire simple [fig. A). La face latérale du collier b qui glisse sur la face étroite divisée de la règle est de même échancrée et divisée en millimètres {fig. o).

Mesure des hauteurs qui ne dépassent pas deux mètres. On fait descendre le collier b le plus possible, jusqu'à ce que l'extrémité libre de chaque règle bute sur le talon de l'autre, puis on serre la

vis du collier. Le système des deux règles, serrées l'une contre l'autre, constitue alors une mire simple à base carrée,' tout à fait semblable à celle que nous avons décrite, et dont on se sert comme il a été dit n° 9 bis. La hauteur de la ligne de foi se lit sur la face postérieure de la règle fixe (fi g. A).

Mesure des hauteurs qui surpassent deux mètres. On fait monter le voyant jusqu'à ce qu'il vienne buter contre un taquet à ressort t', placé sur le talon T', et on serre la vis de son collier a (fïg. A). Le voyant est alors tout à fait indépendant de la règle fixe, et fait corps avec la règle mobile avec laquelle il va monter. On desserre le collier b, et on le fait monter jusqu'à ce que le voyant soit suffisamment élevé. On fixe alors ce collier b (fig. 5), et on lit sur la face latérale étroite de la règle fixe la hauteur à laquelle est parvenu son trait de repère. En ajoutant deux mètres, on a la hauteur .de la ligne de foi du voyant au-dessus du sol.

11. Usage du niveau et de la mire. Le nivellement d'un" terrain se fait en répétant un certain nombre de fois l'opération fondamentale que nous allons expliquer :