REPRÉSENTATION D'UN PLAN

75. Un plan est déterminé et peut être représenté par trois de ses points cotés, non situés en ligne droite, ou par deux de ses droites parallèles ou non parallèles. Mais on préfère généralement un mode de représentation encore plus simple; on représente un plan par la projection cotée d'une de ses ligens de plus grande pente. 74. On appelle ligne de plus grande penteà'un plan une perpendiculaire AB menée à son intersection avec un plan horizontal quelconque MN. Cette ligne est ainsi nommée parce que sa pente est la plus grande que puisse avoir une ligne tracée dans ce plan.

Sur un plan PQ qui rencontre le plan horizontal MN suivant PM, considérons un point A, dont la projection est a; menons ab perpendiculaire à PM, et joignons AB; on sait que AB est perpendiculaire à PM ^Théorème des trois perpendiculaires). Corn-

parons la pente de AB à celle d'une autre droite qui la rencontre

dans le plan PQ, à la pente de AC, par exemple. La projection de

Aa AB est «B et sa pente égale à — ; la projection de AG est «G et sa

Aa pente — . Or aB, perpendiculaire à PM, est plus courte que l'o-

flLi

blique aC; donc la pente de AB est plus grande que celle de AC. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. L'horizontale PM est elle-même sa projection sur le plan MN; elle est perpendiculaire à aB. Les projections de PM et de AB sur un autre plan horizontal quelconque, parallèles à PM et à aB, sont perpendiculaires entre elles.

7o. 11 résulte de là qu'un plan est complètement déterminé par la projection ab d'une de ses lignes de plus grande pente. En effet, en donnant cette projection, on donne en même temps celle d'une horizontale quelconque du même plan; car pour en avoir une, il suffit de mener une perpendiculaire ced à ab, et de donner à c et à d la cote du point e de ab.

7G. Échelle de pente d'un plan. On appelle échelle de pente d'un plan l'échelle d'une de ses lignes de plus grande pente. Quand l'échelle de pente d'une droite doit ainsi représenter un plan, on double le trait qui figure la projection de cette droite.

Nous allons montrer comment on passe d'un des trois systèmes de représentation, d'abord indiqués n° 58, à celui-ci. Puis nous montrerons par quelques exemples comment on résout les questions proposées sur un plan représenté par son échelle de pente.

77. Problème. Construire V échelle de pente d'un plan qui passe par trois points cotés a, b, c.

On joint a et b, puis on cherche sur ab la projection d d'un point ayant même cote que c, et on joint c et d. La droite cdesi la

pi'ojection d'une horizontale du plan, et sa cote est celle du point c. On mène par le point a une parallèle af à cd; af est la projection d'une autre horizontale du plan dont là cote est la même que celle de a; on mène une perpendiculaire mn à cd ou à af, et on double le trait. En effet, mn est la projection cotée d'une des lignes de la plus grand'' pente du plan (V. la remarque du n° 7-i). On peut construire l'échelle de pente de mn en appliquant la règle du nn 66.

7 il. Problème. Construire l'échelle de pente d'un plan qui contient

deux droites données parallèles ou non parallèles.

On considère sur ces deux lignes trois points cotés non en ligne

droite, deux points sur l'une et un sur l'autre; puis on opère

comme il vient d'être dit.

79 Problème. Construire l' intersection de deux plans donnés par

leurs échelles de pentes ab, a'b'.

On prend sur ces deux lignes deux points portant la même cote

(12); on mène par le premier point (12) une perpendiculaire à ab, et par le second une perpendiculaire à a'b ; le point de rencontre m de ces perpendiculaires est un point de l'intersection cherchée, ayant la cote (12). (Les horizontales (12)m, (12)m situées dans le même plan horizontal (coté 12) perpendiculaires à deux droites (parallèles à ab et a'b') qui se coupent, se coupent aussi.) Par deux autres points b et b', de ab et de a'b', ayant la même

cote (17), on trace deux autres perpendiculaires à ces lignes; ce

qui donne un nouveau point n de l'intersection ayant la cote (17).

On joint met n\ on a ainsi la projection de l'intersection et les cotes

do deux de ses points: on peut construire son échelle de pente. Il est évident que l'on obtient immédiatement cette échelle de pente, en menant des perpendiculaires aux deux échelles données ab. a'b', par les points de divisions correspondants.

1ÎO. Problème. Trouver l'intersection d'une droite ab et d'un plan a'b' données par leurs échelles de pente.

On considère ab comme l'échelle de pente d'un plan, et on construit l'intersection mn de ce plan et du plan donné a'// (n° 79). On prolonge mn jusqu'à sa rencontre en p avec ab ; le point p est le point cherché. En effet, les droites ab et mn sont dans le même plan, et leurs projections se coupent; donc ces droites se coupent. D'ailleurs mn est dans le plan donné ab' : le point p est donc sur le plan al/ et sur la droite ab.

81. Problème. Mener par un point o, dans un plan représenté par son échelle de pente une droite qui ait une pente donnée p.

Par deux points de division consécutifs c et fde l'échelle, on mène

deux horizontales ce, fi. On

calcule la distance d==-, P et on prend sur l'échelle horizontale du plan (n° 60) une longueur égale à d; puis d'un point g pris sur ce avec un rayon égal à d, on décrit un arc de cercle qui rencontre fi en deux points h et h' ; on trace gh et g' h'.

Enfin, on mène par le point o une parallèle à g h ou à gh'. cl la question est réso-

lue. En effet, gh a évidemment pour pente -3; mais -j:=p, puis-

quon a pris a =-.

P Pour que le problème soit possible, il faut que la distance d soit

au moins égale à cf=i. Si d = 1, ou en général d = cf, la ligne

cherchée est une ligne de plus grande pente, et il n'y a qu'une

solution ; si l'on trouve d < 1 , ou en général d < cf, le problème

proposé est impossible.