PRELIMINAIRES
J . Los ingénieurs, les architectes, et les constructeurs de machines et d'instruments se servent pour leurs ouvrages d'art et de précision de dessins géométriques sur lesquels ils prennent leurs mesures ; ces dessins se construisent par des procédés particuliers dont l'exposition est l'objet de la géométrie descriptive. On apprend , en effet, dans cette partie des mathématiques, à représenter un corps solide, et en général une figure qui n'est pas plane, par deux figures planes ordinairement réunies sur le même dessin, d'après lesquelles on peut reproduire exactement l'objet représenté en véritable grandeur ou dans des proportions données. ( T". n° H.)
2. Les moyens delà géométrie ordinaire ne suffisent pas pour atteindre ce but.
En effet, une figure plane peut bien être représentée sur le papier en véritable grandeur, ou, à défaut de place, par une figure géométriquement semblable iGéom., n° 143). Dans ce cas, il suftit, comme on sait, de rendre aux lignes leur véritable grandeur pour reproduire d'après le dessin la figure représentée.
Mais une figure qui n'est pas plane, celle d'un corps solide par exemple, ne peut pas être représentée par une figure plane géométriquement semblable, c'est-à-dire ayant ses lignes proportionnelles à celles de la figure représentée, ses angles égaux et sembiablement disposés. Cette impossibilité est évidente à priori ; on peut d'ailleurs la constater nettement pour les figures dont nous nous sommes occupé dans la géométrie ordinaire, et conclure de là pour les autres.
ï~h COURS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES.
Exemples. 1° Un cube, un pavallélipipède rectangle t un prisme droit : pour faire une figure semblable à un de ces corps, il faudrait à chaque sommet mener deux perpendiculaires à la même droite; ce qui est impossible sur un plan. 2° Un polyèdre quelconque : chacun des angles formés par les arêtes issues du même point est plus petit que la somme de tous les autres; un des angles formés sur un plan par des droites issues du même point est égal à la somme de tous les autres. De l'impossibilité de faire sur un plan une figure géométriquement semblable à un polyèdre quelconque, on peut conclure par induction l'impossibilité de représenter ainsi une surface courbe. Nous allons néanmoins citer encore quelques surfaces : 1° Le cône circulaire droit : pour faire sur un plan une figure géométriquement semblable à ce cône, il faudrait, ayant représenté la base par un cercle, marquer le sommet en un point du plan autre que le centre et cependant également distant de tous les points de la circonférence ; ce qui est impossible. 2° Le cylindre : les arêtes parallèles entre elles sont perpendiculaires à des droites qui se coupent (les diamètres des bases); ce qui ne peut être réalisé sur un plan. 3° La sphère : pour représenter des grands cercles, il faudrait tracer sur le plan des circonférences distinctes ayant même centre et même rayon ; ce qui est impossible. Nous pourrions citer plusieurs genres d'impossibilité pour chacune des figures précédentes; il n'est pas de figure à trois dimensions pour laquelle on ne puisse le faire.
5. 11 résulte de ces considérations que les figures par lesquelles on essaye, dans les derniers livres de la géométrie ordinaire, de représenter les figures de l'espace, ne sont, pas plus que les dessins pittoresques qui représentent des objets en perspective plus ou moins régulière, des dessins de précision pouvant servir à construire exactement les objets représentés. Les angles y sont nécessairement altérés; les lignes du dessin et leurs homologues de l'objet représenté ne sont pas dans un rapport constant; leurs rapports divers ne sont en général ni précis, ni déterminés. De pareils dessins ne peuvent donc pas servir à la construction des ouvrages d'art et de précision. On a inventé pour y suppléer des méthodes particulières qui consistent dans l'emploi des projections dont nous allons nous occuper.
