REPRESENTATION D L'N POINT

4. La projection d'un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.

Exemple, a est la projection dn point A sur le plan MN.

5. La position d'un point n'est pas déterminée quand on connaît sa projection a sur un plan MN.

En effet, on sait seulement que ce point se trouve sur la perpendiculaire aA, sans pouvoir le distinguer parmi les points de cette droite qui ont tous pour projection a.

Mais un point est déterminé quand on connaît ses projections sur deux plans qui se coupent.

En effet le point dont les projections sont a et a' sur les plans TM, TN, doit se trouver à la fois sur la perpendiculaire «A au plan TM et sur la perpendiculaire a'X à TN ; ce point n'est donc autre que le point d'intersection A de ces deux lignes.

ii. C'est pourquoi on emploie deux plans de projection. Pour plus de simplicité, on prend ces plans perpendiculaires entre eux; c'est ce que nous ferons. L'un des plans de projections TM s'appelle plan horizontal, l'autre TN plan vertical; l'intersection LT s'appelle la ligne de terre.

Ces dénominations ne signifient pas que l'un des deux plans de projection est nécessairement parallèle à l'horizon du lieu ; ce sont deux plans rectangulaires quelconques. Mais bien que cela ne soit

pas nécessaire, il est bon, pour fixer ses idées, pour raisonner avec plus de netteté et de facilité, de se figurer l'un de ce plans réellement horizontal, et l'autre vertical.

7. Théorème. Les deux projections a et a' d'un même point A sont toujours situées sur deux droites perpendiculaires à la ligne de terre au même point.

En effet, le plan aAa' (figure précédente) est perpendiculaire au. plan horizontal parce qu'il contient aA perpendiculaire à ce plan et perpendiculaire au plan vertical à cause de a' A; il est donc perpendiculaire à l'intersection LT de ces deux plans, qu'il rencontre en un point a (Géom., n° 267), et réciproquement LT lui est perpendiculaire. Tirons <*«' et aa; LT est perpendiculaire à ces deux lignes du plan aAa'; notre proposition est donc démontrée.

RÉcirRontE.MENT. Deux points a et a' pris à volonté sur deux droites aa, aa', perpendiculaires à la ligne de terre ou même point, sont les projections d'un point de l'espace.

En effet, le plan atd de ces deux droites est perpendiculaire à LT et par suite au plan horizontal TM et au plan vertical TN. Donc, la perpendiculaire élevée en a sur le plan TM, et la perpendiculaire menée en d sur le plan TN sont situées dans le plan aaa'; ces deux lignes, perpendiculaires à deux droites aa, ad qui se coupent, se coupent elles-mêmes en un point A qui a pour projections a et d.

8. Théorème. La distance d'un jioint A au plan horizontal est égale à la distance de sa projection verticale a' à la ligne de terre. Sa dislance au, plan vertical est de même égale ci la distance de sa projection horizontale a à la ligne de terre.

L'i figure Aam est un rectangle : en effet les angles a et a' sont droits par définition; l'angle a est droit puisqu'il mesure l'angle des deux plans de projection qui sont rectangulaires ; par suite le quatrième angle A est droit. La figure Aaaa' étant un rectangle, Aa = a'a, et Aa' = aa.

î). Corollaire. Donner les deux projections a et a' d'un point A de l'espace, revient donc à donner sa projection horizontale a et sa distance «A au plan horizontal. Nous pouvons déjà conclure de là qu'on peut, à l'aide de deux projections, atteindre le but indiqué dans nos préliminaires.

10. La figure d'un corps solide, ou plus généralement une figure quelconque de l'espace, est déterminée et peut être construite quand on connaît sa projection verticale et sa projection horizontale

En effet, nous voyons d'abord qu'une droite AB est déterminée par les projections verticales et horizontales de ses extrémités A et B.

Cette droite occupe au-dessus du plan horizontal la position indiquée sur notre figure-, on connaît ab, ak et bB. La droite peut être construite et mesurée , puisqu'on a tout ce qu'il faut pour construire le trapèze XBba rectangle en a et en b.

Un polygone ABCDEF est déterminé et peut être construit quand on connaît les projections verticales et horizontales de ses sommets. En effet, on peut construire ses côtés comme il vient d'être dit, et aussi ses angles; car chacun de ses angles, ABC par exemple, appartient à un triangle dont on peut construire les trois côtés AB, BC, AC.

Il en est d'un polyèdre quelconque comme d'un polygone. On peut construire ses arêtes, ses faces, ses angles plans dont on connaît la disposition , et par suite ses angles trièdres et ses angles polyèdres.

Une courbe est déterminée par les projections verticales et horizontales d'un certain nombre de ses points assez nombreux et suffisamment rapprochés.

Résumons-nous : une figure quelconque de l'espace est généralement déterminée par certains points et par certaines lignes principales ; ces points et ces lignes étant déterminés par leurs projections verticales et horizontales, la ligure elle-même est

déterminée et peut être construite à l'aide de ces projections (*). Ces considérations générales rapidement exposées ont seulement pour objet de montrer qu'il est possible d'atteindre, à l'aide des projections, le but suivant déjà indiqué n° 1 :

il. Objet de la géométrie descriptive. On apprend donc en géométrie descriptive à représenter d'une manière précise une figure de l'espace par deux figures planes : une projection verticale et une projection horizontale. On peut, à l'aide de ces deux projections, reproduire cette figure de l'espace , et résoudre toutes les questions qui s'y rapportent.

12. Pour plus de simplicité et de commodité , on réunit les deux projections sur le même dessin, en les disposant de manière qu'on reconnaisse aisément les points correspondants des deux figures, qui sont deux à "deux les projections de chaque point de l'espace.

Pour cela , on imagine que le plan vertical tourne autour de la ligne de terre poiu' se rabattre sur le plan horizontal. (V. la figure suivante. )

Épure. La double figure que forment après ce rabattement la projection verticale et la projection horizontale d'une ligure de l'espace s'appelle une épure.

15. Théorème. Sur une épure quelconque , les deux projections d'un même point sont situées sur une même perpendiculaire à lu ligne de terre.

2° De même qu'avant le rabattement du plan verticale! la distance d'un point de l'espace au plan horizontal est égale à la distance de sa

(*) La proposition que nous venons de développer est admise sans difllculté quand il s'agit de la représentation d'un terrain (V. le Nivellement). On voit bien que la figure du terrain est déterminée quand on connaît les projections

horizontales A', B', C, de ses points remarquables et leurs hauteurs A'A,

ÎÎB', CC, etc., au-dessus du plan de projection. On se figure ces points aux extrémités des verticales AA', FJB',..-, et on dislingue bien la forme des lignes qu'ils déterminent. Connaissant les lignes de la figure, on connaît la figure elle-même. Il en est de même évidemment pour un corps quelconque terminé par des surfaces que l'on connaît de la même manière que celle du terrain.

Le lecteur peut voir dès à présent l'identité de la géométrie descriptive ordinaire et de la méthode des plans cotés. La seule différence, c'est que dans la première, la hauteur \a est donnée graphiquement sur une seconde figure, tandis que dans la méthode des plans cotés, elle est exprimée par un nombre

projection verticale à la ligne de terre. La distance de ce point au plan vertical est égale à la distance de sa projection horizontale à la ligne de terre.

Pour le démontrer, considérons avant le rabattement du plan vertical les deux projections a et a' d'un point A de l'espace. Abaissons de a et de a' des perpendiculaires aa, a'a à la ligne de

terre (n° 7), puis faisons tourner le plan vertical autour de cette ligne LT (de a' vers a' comme l'indique la figure) pour le rabattre sur le plan horizontal.

La ligne a' y. , qui reste dans le mouvement perpend iculaire à LT, se rabat finalement sur la perpendiculaire <xa't qui n'est autre que le prolongement de «a; le point a' décrivant un arc de cercle autour de a comme centre, se rabat en un point a\ tel que aa\=aa'; a\a.a est perpendiculaire àLT; a\aL = a'a = A«; aa=Aa'. Notre proposition est donc complètement démontrée.

J.4. Remarque. Pour marquer sur une épure les projections d'un même point de l'espace, il suffit donc d"y marquer deux points situés sur- une même perpendiculaire à la ligne de terre.

ïo. En faisant une épure, on suppose ordinairement l'observateur placé en face du plan vertical TN et au-dessus du plan horizontal TM (dans l'angle NLTM), à une très-grande distance de

COIKS DE MATHEMATIQUES AI'I'LIQLÉES.

chacun de ces plans, ayant la lettre L à sa gauche et la lettre T à sa droite. Pour ce spectateur, la partie supérieure TN du plan vertical tourne d'avant en arrière pour se rabattre sur la partie postérieure ÏM' du plan horizontal; par suite, la partie inférieure TN' du plan vertical se relève et revient coïncider avec la partie antérieure du plan horizontal.

16. La ligne de terre LT est ordinairement représentée par une horizontale qui sépare les deux moitiés du plan horizontal, la partie antérieure et la partie postérieure. Le plan vertical une fois rabattu, sa partie supérieure est au-dessus de LT, sa partie inférieure au-dessous. Le plan vertical coïncidant partout sur l'épure avec le plan horizontal , on a fait, pour éviter la confusion entre les deux espèces de projections, cette convention générale : on désigne

les points de l'espace par de grandes lettres A, B, C, ; leurs

projections horizontales par les petites lettres correspondantes a, b, c, ... et leurs projections verticales par les mêmes petites lettres accentuées a', b', c, ... Quand on veut bien préciser les projections d'un même point, on les réunit par une perpendiculaire à LT figurée en petits traits interrompus (V. notre figure).

La projeetion verticale a' d'un point A n'est pas nécessairement au-dessus de la ligne de terre, ni sa projection horizontale au-dessous. Ces deux projections peuvent avoir les diverses positions in-

diquées sur la deuxième figure. La situation des projections dépend de celle du point projeté relativement aux plans de projection; les quatre arrangements des projections indiquées sur la seconde figure correspondent aux quatre positions du point projeté indiquées sur la première. Le lecteur se rendra compte de ces diverses situations en ayant égard à ce qui a été dit nos 15 et I6(*).

Un point peut être situé sur le plan horizontal même; il est luimême dans ce cas sa projection horizontale, et sa projection verticale est sur la ligne de terre. Un point peut de même être situé sur le plan vertical. S'il est sur la ligne de terre, il est lui-même sa projection verticale et sa projection horizontale.

16 bis. De tracé des ligne Sd'une Épure. Le spectateur, supposé placé comme il a été dit n° 15, voit certaines lignes de la figure projetée, tandis que d'autres sont invisibles pour lui à cause de l'opacité du corps, ou parce qu'elles lui sont cachées par l'un des plans de projection.

Les lignes de l'épure qui représentent des lignes de la figure visibles pour cet observateur se font en trait plein; celles qui représentent des lignes invisibles sont formées de points ronds. Quant aux lignes auxiliaires de construction qui n'appartiennent ni à la figure de 1 espace ni à ses projections, elles se font toujours en petits traits interrompus»

représentation d'une DROIT li.

1 7. La projection d'une ligne quelconque sur un plan est la ligne que forment les projections de tous ses points sur ce plan.

18. Théorème. La projection d'une droite sur un plan est généralement une droite.

Il n'y a d'exception que pour le cas où la droite AD est perpen-

(*) On distingue les angles trièdres que forment les plans de projection suivant les portions de ces p'ans qui les forment. Il y a I" l'angle antérieur supérieur NLTM; 2" l'angle postérieur supérieur NTLM' ; 3° l'angle postérieur inférieur NTLM' et enfin 4" l'angle antérieur inférieur N'LTM.

diculaire au plan de projection; alors sa projection se réduit évidemment à un seul point a (fig. 1).

Soit en général une droite AB à projeter sur un plan MN (fig. 2). Abaissons de A et de B deux perpendiculaires A«, Bb sur ce plan, et joignons ab; ab est précisément la projection de AB. En effei, considérons un troisième point quelconque G de AB, et projetonsle sur MN ; le plan ABab étant perpendiculaire à MN, la ligne Ce qui projette G ne sort pas de ce plan (Géom., n° 266), et vient rencontrer le plan MN en un point c, situé sur l'intersection ab des deux plans. La droite ab est donc précisément la ligne que forment les projections des divers points de AC; ab est la projection de AB, et notre proposition est démontrée.

19. Remarque. Pour projeter une droite AB sur un plan MN, il suffit de mener une première perpendiculaire Art sur MN; AB et Art déterminent un plan BA« perpendiculaire à MN, dont l'intersection ab avec ce plan est la projection de AB. On peut aussi projeter deux points A et B en « et b, et tracer ab.

20. Théorème. Une droite n'est pas déterminée quand on connaît sa projection ab sur un seul plan MN (fig. 1 ci-dessus).

En effet, on sait seulement que cette droite est située sur un plan abAB perpendiculaire à MN, conduit par ab, sans pouvoir la distinguer parmi toutes les lignes droites ou courbes situées dans ce plan AabB qui ont toutes pour projection ab. Ex. : AB, EF.

Sil. Mais une droite est généralement déterminée par ses projections sur deux plans qui se coupent (fig. 1 ci-après).

En effet, la droite qui a pour projection ab et a'b' sur les plans T.M, TN doit se trouver à la fois dans le plan ob\B mené par ab

perpendiculaire au plan TM, et dans le plan û'ô'AB, mené par db\ perpendiculaire au plan TN ; cette droite ne peut donc être que l'intersection AB de ces deux plans.

22. Nous avons dit généralement; car il faut excepter le cas où les deux projections données ab, a'b' sont perpendiculaires à la ligne de terre au même point a (fig. 2). Le plan b'ab est alors perpendiculaire à la ligne de terre, et par suite aux deux plans de projection à la fois. Il n'y a donc plus deux plans projetant la droite; il n'y en a qu'un; toutes les lignes situées dans ce plan b'ab ont évidemment pour projections communes ab et a'b'; ces projections ne suffisent donc pas pour déterminer une de ces lignes. Quand on veut en distinguer une, AB, on donne ordinainairement dans ce cas les projections [a, a'), [b, b') de deux de ses points A, B.

23. Béciproquement, deux droites quelconques ab, a'b', tracées sur une épure, sont les projections d'une droite AB de l'espice, excepté quand ces lignes sont perpendiculaires à la ligne de terre en des points différents.

En effet, on démontre facilement que les plans respectivement

perpendiculaires au plan horizontal et au plan vertical conduits par ces lignes ab, db', se rencontrent, excepté dans le cas signalé qui est indiqué dans la figure (2) (*); ab, db1 sont les projections de l'intersection de ces deux plans.

24. Remarque. Une droite située sur un des plans de projection est elle-même sa projection sur ce plan; sa projection sur l'autre est la ligne de terre.

25. Théorème. Si une droite AB est parallèle à un des plans de projection, sa projection sur l'autre est parallèle à la ligne de terre.

Supposons par exemple AB parallèle au plan horizontal : tous les points de cette droite sont également distants du plan horizontal, et par suite tous les points de sa projection verticale db', sont également distants de la ligne de terre (n° 8); cette projection verticale est donc parallèle à la ligne de terre.

• Il faut évidemment excepter le cas où la droite est perpendiculaire à l'un des plans de projection (n° 18).

La droite AB et sa projection horizontale sont évidemment parallèles; car elles sont dans le même plan, et AB ne saurait rencontrer ab, qui est dans le plan horizontal.

26. Théorème. Les projections de deux droites parallèles AB, CD, sur un même plan MN, sont parallèles.

En effet, abaissons sur MN les perpendiculaires ko, Ce; ces lignes sont parallèles. Les plans BA«, DCe sont donc parallèles (Géom., n° 255); les intersections <ib, cd de ces deux plans par le même plan MN sont parallèles.

Mais ab , cd sont les projections

(') En elt'et, si ces deux plans étaient parallèles, ils seraient tous deux per-

de AB et de CD, (n° 19); notre proposition est donc démontrée.

27. La réciproque de la proposition précédente n'est pas vraie

en général : de ce que les projections de deux droites sur un plan sont parallèles, on ne peut pas conclure avec certitude que ces deux droites sont parallèles.

En effet, considérons deux droites parallèles AB, CD qui ont des projections parallèles ab, cd. Menons par le point C dans le plan horizontal Cïïcd une autre droite quelconque CE; CE a aussi pour projection cd. Les deux droites AB, CE qui ne sont pas parallèles, ont cependant des projections parallèles.

28. Mais si deux droites ont des projections parallèles sur deux plans qui se coupent, elles sont parallèles, pourvu qu'elles soient déterminées par leurs projections.

Soient AB, CD deux droites qui ont leurs projections horizontales ab, cd , parallèles, ainsi que leurs projections verticales a'b', c'd' :

ces droites AB, CD sont parallèles. En effet, considérons un point A de AB, et marquons ses projections a et a' sur ab et sur a'b' ; par le point A il passe une parallèle à CD, une seule; la projection horizontale de cette parallèle qui passe par le point a doit être parallèle à cd, d'après la proposition précédente (n° 26); cette projection horizontale n'est donc autre que ab. On voit de même que la projection verticale de cette parallèle à CD n'est autre que cd'. Cette parallèle à CD a donc les mêmes projections que AB; elle n'est donc autre que AB, puisque AB est déterminée par ses projeciions.

pendiculaires à la fois au plan horizontal et au plan vertical, et par suite perpendiculaires à la ligne de terre. Or, cela étant, la ligne de terre LT serait perpendiculaire à ab et à a'b' en des points différents. Les plans en question ne sont donc parallèles que dans le cas indiqué sur la figure 2. n° 23.

La seule exception a donc lieu quand les projections de chaque droite sont perpendiculaires à la ligne de terre au même point. Les droites n'étant plus dans ce cas déterminées par leurs projections, on ne peut plus rien conclure de positif d'après ces projections seules.

29. Corollaire. Pour mener-, par un point donné o, o', une parallèle à une droite donnée ab, a'b', il suilit donc de mener par o et par o' des parallèles cd , c'd' à ab et à a'b' .