REPRESENTATION TES PLANS
50. Un plan est déterminé, et peut être représenté par les proections de deux de ses droites parallèles ou non parallèles, ou
par les projections d'une de ses droites et d'un de ses points situé hors de cette droite, ou enfin par trois de ses points non situés en ligne droite.
On représente souvent un plan par ses traces sur les deux plans de projection. Les traces d'un plan ABC sur les plans de projection sont ses intersections AB, BC avec ces deux plans.
Un plan peut rencontrer la ligne de terre on un point B; c'est
le cas général; ses doux traces AB, BC partent alors de ce même
point B. Un plan peut être parallèle à la ligne de terre et rencontrer cependant les deux plans de projection; ses traces AB, CD sont alors parallèles à la ligne de terre.
En lin un plan peut être parallèle à l'un des plans de projection; alors il n'a qu'une trace sur l'autre plan de projection , et cette trace est parallèle à la ligne de terre. ( V. la trace a'b' du plan ABa'ù' sur la figure du n°25.)
51. Théorème. Lorsqu'un plan est perpendiculaire à un des plans de projection, sa trace sur Vautre est perpendiculaire à la ligne do terrç.
Soit , par exemple , le plan ABC perpendiculaire au plan horizontal; sa trace verticale AB est perpendiculaire à la ligne de terre.
En effet , le plan ABC et le plan vertical TN étant tous deux perpendiculaires au plan horizontal TM , l'intersection AB de ces deux plans est perpendiculaire au plan horizontal , et par suite à la ligne de terre LT qui passe par son pied dans ce plan.
52. Remarque. Quand un plan ABC est perpendiculaire au plan horizontal, toute ligne droite ou courbe, toute figure située dans ce plan se projette horizontalement sur la trace BC. En effet, toutes les perpendiculaires au plan horizontal qui projettent les points de cette ligne ou de cette figure ne sortent pas du plan ABC, et ont leurs pieds sur BC (Géom., n° 266). De même, quand un plan est perpendiculaire au plan vertical, une ligne ou une figure quel-
conque située dans ce plan a sa projection verticale sur la trace verticale de ce plan.
55. Théorème. Quand un plan OP et une droite BC sont perpendiculaires entre eux, la projection bc de la droite et la trace AP du plan sur le même plan MN sont perpendiculaires entre elles.
Abaissons du point B une perpendiculaire Bb à MN; le plan CBcb coupe le plan MN suivant la droite bc , projection de BG. Ce plan kBbc est perpendiculaire au plan OP à cause de BG, et au plan MN h cause de Bb (Géom., n° 264); il est donc perpendiculaire à l'intersection AP de ces deux plans.
AP perpendiculaire au plan BCbc est perpendiculaire à la droite bc qui passe par son pied dans ce plan. C. Q. F. D.
La réciproque n'est pas vraie : si la trace AP d'un plan OP et la projection bc d'une droite sur un plan MN sont perpendiculaires, le plan et la droite ne sont pas nécessairement perpendiculaires.
En effet, admettons que la droite BG, dont la projection est bc, soit perpendiculaire au plan OP. Considérons une autre droite quelconque BD, menée par le point B dans le plan GBbc; cette droite BD, qui a aussi pour projection bc perpendiculaire à AP, n'est pas perpendiculaire au plan OP.
54. Mais si les deux traces BC, AB, d'un plan ABC, et les deux
projections ed, e'd', d'une droite ED, déterminée par ses pjrojections, sont respectivement perpendiculaires , le plan ABC, et la droite ED sont nécessairement perpendiculaires l'un à l'autre.
En effet , considérons un point quelconque D de ED projeté en d et en d'. Par ce point D il passe une perpendiculaire au plan ABC, dont la projection horizontale passe par
ISOTIOMS DE GÉOMKIfilK DESCUIPT1 VE.
d, et doit être perpendiculaire à bc d'après la proposition précédente ; cette projection horizontale n'est donc autre que de. On voit de même que la projection verticale de cette perpendiculaire n'est autre que d'é. Cette perpendiculaire ayant les mêmes projections que ED, qui est déterminée par ses projections, n'est autre que ED ; notre proposition est donc démontrée.
La seule exception a lieu quand la droite n'est pas déterminée par ces deux projections perpendiculaires à la ligue de terre au même point (n° 2-2). La même exception se produit naturellement dans tous les cas semblables.
