Cours de mathematiques generales

Ce Cours est destiné à mettre les Physiciens et les Ingénieurs en état de lire les ouvrages et les mémoires qui concernent leurs travaux.. Il subira diverses sortes de critiques, au surplus contradictoires : comn,.e toujours , j'en appelle au bon sens des étudiants.

Pleins de sollicitude pour ces derniers, les uns diront qu'il est trop long et trop difficile.

Pour la longueur, on remarquera qu'il prend l'étudiant au baccalauréat et qu'il renferme tout ce qu'il lui sera nécessaire de connaître en Algèbre, Trigonométrie, Géométrie analytique, Calcul différentiel et intégral... Dans ces conditions, il est impossible d'être bref.

Pour la difficulté, je pourrais le comparer aux Cours actuels de Spéciales : ce serait me donner la partie trop belle, et, pour tout dire, manquer de sérieux : il nest rien de comparable aux Cours de Spéciales.

Si mon Cours paraît difficile à quelques-uns, c'est qu'il choque leurs habitudes. Mais il faut espérer qu'avant longtemps les classes de Spéciales seront employées d'une façon plus intelligente et plus conforme aux besoins de la quasi- totalité de leurs élèves. Sous la poussée du public qui commence à comprendre qu'on le berne, l'esprit des classes élémentaires elles-mêmes sera modifié. On n'assistera plus à ce scandale de bacheliers gavés d'une théorie indigeste, mais ignorant la règle de trois, c'est-à-dire , après l'on ne sait combien d'années de Mathématiques , n'ayant même pas acquis la notion de fonction dans ce qu'elle a de plus vulgaire.

Quand le lycée préparera des élèves ayant des connaissances utilisables, mon Cours ne paraîtra difficile à personne.

En second lieu, les questions ne sont faciles ou difficiles que par rapport à un étalon qui change lorsqu'on modifie le but de l'enseignement. Un théorème difficile à établir rigoureusement devient évident si Von se contente d'un acquiescement intuitif et, pour ainsi dire, expérimental.

Du reste, la question de difficulté est secondaire : celle d'utilité emporte tout. Quand un théorème a des applications techrljucs, c'est

Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 1

2 AVAXT- PROPOS

à nous y professeurs^ de trouver le moyen de le rendre assimilable : nous sommes payés pour cela.

Malheureusement j si dans leurs discours les Mathématiciens de métier sont d'accord avec tîous sur la nécessité^ non seulement d'un enseignement utilitaire pour les futurs physiciens et ingénieurs, mais d'un enseignement initial plus concret pour leurs futurs professeurs , candidats à V Agrégation de mathématiques , ils tombent où leurs préoccupations les entraînent. L'histoire du Certificat de Mathématiques générales montre qu'ils n'ont pjas su diriger la bonne volonté d'une Administration à qui nous ne pouvons refuser l'honneur de croire qu'elle veut qu'on l'éclairé.

Nous avons réclamé le Certificat de Mathématiques générales pendant de longues années; il nous a été accordé sous le titre demandé p)ar nous de « Mathématiques préparatoires aux Sciences expérimentales »; il devait rendre capables de leur métier les Physiciens et les Ingénieurs sortis de nos mains. On a commencé par en changer le titre y pjuis on a modifié son esprit. On en a fait « un échelon de culture », un abrégé du Cours d'Analyse. Notre manie du trompel'œil, notre surenchère à la baisse, l'ont transformé dans nombrr de Facultés en une sorte de Bachot si misérable^ qu'on a trouve juste d'en exempter les boursiers. Tout cela en dix ans.

Il s'agissait de créer un enseignement dans un esj)rit qui ne fût pas celui des Cours d'Analyse. A quel degré l'état d'âme des éminents Mathématiciens qui sont chargés de ce Cours, est opposé aux raisons mêmes de son existence, il suffit de feuilleter les Cours publiés ])Our s'en convaincre. Certes, ils sont admirables dans leur genre : reste à savoir si ce genre est celui qu'il faut. Or leurs auteurs envisagent les Mathématiques, non comme un « outil » , mais comme une «culture ». Leur préoccupation est de servir d'intermédiaire entre le Bachot et le Cours d'Analyse, de suppléer les Spéciales absentes Leurs méthodes sont celles des traités complets : ils se JX' fusent n désorienter ceux de leurs élèves qui voudraient ensuite devenir professeurs de Faculté et membres de l'Institut pour les Mathématiques.

Ils n'oublient qu'un point, mais qui est gros : que leurs élèves n'ont pas ce désir et qu'ils sont précisément chargés de leur fournir toi i le bagage mathématique nécessaire à leurs travaux ultérieurs, avec la manière de s'en servir.

1 Dernière iinenlioii de la Sorbonne : le « (^erlilieal clAstrononiie approlttiulie ». Pour sauver rAslronoinic l'ranv«»se qui se meurt, je conseille de changer non les programmes, mais l'esprit des programmes. Qui de nous ne se souvient a\ec horreur de son Cours d'Astronomie? Il me seml)le pourtant (pi'inie combinaison de Mécanique céleste et d'observations réellement e.vécutées informe et faits se logeant dans la forme; ravirait m>s éludiauls « de surface » eu.x-mêmes, comme un beau spectacle intellectuel projet ( sur un magnilîque écran naturel.

Mais là où les anciens voyaient luie raison d'extase, nous trouvons pour nos élè^ (< un sujet de changements de coordonnées.

A VA.\r- PROPOS 3

Soyons justes. Bien des circonstances rendent quasiment impossible la tâche des professeurs de Mathématiques générales. Certes^ la scolarité d'un an serait suffisante s'ils s'adressaient à des élèves convenablement préparés. Mais^ par la faute de V Enseignement secondaire coupable du mauvais recrutement de leurs Instituts techniques, les Facultés imposent aux professeurs de Mathématiques générales des élèves dont les connaissances mathématiques sont rudimentaires.

Je ne suis certes pas hostile aux Instituts techniques des Facultés, ni jaloux de leurs succès : tout mon enseignement est orienté vers l'utile; mais je déteste le gâchis.

Les Instituts devraient être pour l'Enseignement supérieur une fontaine de Jouvence ; ils sont en train de le ruiner par suite de leur recrutement déplorable, que systématise la théorie insensée « de la porte ouverte ». En effet, de ce qu'il est absurde d'exiger le Bachot, c'est-à-dire de l'histoire , de la géographie, de l'allemand , de l'hygiène,... pour permettre aux étudiants d'apprendre la Physique et la Chimie à la Faculté, et d'obtenir un diplôme en témoignage de la science acquise , il ne résulte pas qu'on doive ouvrir les portes des Instituts à des gens évidemment incapables de profiter de l'enseignement et dont la présence est une gêne pour leurs camarades et leurs professeurs. Tout élève entré dans un Institut doit être sûr d'obtenir le diplôme au bout de la scolarité imposée, après un travail honnête.

On est en train de transformer les Facultés en je ne sais quelles écoles primaires préparatoires à elles-mêmes. Pour ambitieux et zélés (/?) que nous soyons, nous ne pouvons pas englober tous les enseignements , « le maternel y compris. » Abattons « les cloisons étanches »/ Encore faut- il que chacun ait son rôle bien déterminé , le remplisse et n'accapare pas le rôle du voisin. Si le voisin s'acquitte mal de la tâche qui lui revient en raison de la division du travail, obligeons- le à mieux apprécier ses devoirs. Le Lycée nous doit des élèves préparés : obligeons-le à nous les fournir.

Qu'attend l'Administration , rompant avec les théories qui sont à la base de la soi-disant réforme de 190^2 , pour créer au Lycée l'enseignement UTILE que la nation réclame et sans lequel l'effort actuel des Universités sera stérile, sinon néfaste?

Il est raisonnable , il est nécessaire que la première année des Instituts techniques soit presque exclusivement consacrée à l'étude des Mathématiques et de la Mécanique. Mais ce n'est possible que si les étudiants admis ont des connaissances solides dont un sérieux examen d'entrée doit être la justification...

Le Certificat de Mathématiques générales n'est pas un abrégé du Certificat d'Analyse pour esprits faibles : les Physiciens et les Ingénieurs ne sont pas des amoindris. L'enseignement utilitaire des Mathématiques A SA valeur propre ET SES MÉTHODES.

Je prie donc les Mathématiciens de métier de discuter le choix des

4 AVAM- PROPOS

questions y l'importance relative que je leur donne ^ l'ordre dans lequel Je les traite, non de leur point de vue, mais du nôtre. Inutile de feindre que J'aie l'intention de leur apprendre les mathématiques : on n'importe pas des chouettes à Athènes; Je sais fort bien que ce livre très élémentaire ne contient autant dire pas un théorème qui ne fût connu d'Euler. Inutile de m'apprendre que plusieurs théories sont fondamentales dont Je ne parle pas, alors que J'insiste sur des questions ordinairement négligées. Il s'agit ici de Mathématiques utilitaires; nous sommes Juges en dernier ressort de ce dont nous avons besoin.

Il va sans dire que, sur mon propre terrain, Je sollicite les critiques. Dans une entreprise aussi neuve, il serait admirable de réussir du premier coup. J'espère qu'après avoir compris la relativité de leurs classifications , changé momentanément leur échelle d'importance et de difficulté, accepté notre idéal [sans abandonner le leur), les Mathématiciens de métier nous suggéreront les améliorations de détail que leur sagacité les met sans peine à même de découvrir. Au surplus, leur mauvaise humeur serait inefficace : les hruits hors la route n'ont Jamais empêclié les caravanes de jjasser.

Il est certain quon me reprochera de ne pas être rigoureux, de m'efforcer à trop de clarté aux dépens de la Logique. Comme Je ne veux pas laisser au lecteur l'impression pénible que Je lui propose une vulgarisation de contremaître, comme Je prétends qu'à côté des Mathématiques pour Professeurs de Faculté, il y a place pour des Mathématiques tout aussi rigoureuses dans leur genre et tout aussi scientifiques, Je pèserai à mes balances « la précision et la rigueur » dont nos géomètres sont si fiers.

La définition des aii'es présente quelques difficultés. Qu'à cela ne tienne! supprimons les aires! Un professeur, après avoir démontré que le produit de la base d'un triangle par sa hauteur est le même uour les trois bases et les hauteurs correspondantes , prend ce produit pour délinitiou de l'aire du triangle et construit sur cette définition . d'où la notion d'aire est absente, une théorie eu soi parfaite de C( qu'il appelle aire du triangle. Toutes les difficultés sont écartées... Jusqu'au moment de l'application. Alors elles se rej)résentent cii groupe compact : il a reculé pour mieux sauter.

Qu'a- 1- il gagné, si l'application est nécessaire?

Je ne conteste pas l'idéale beauté de cette marche,' Je conteste qui soit raisonnable de la préférer à la méthode vulgaire, s'il s'agit d( mesurer effectivement ce que tout le monde appelle « aire di. triangle ».

Un professeur définit la fraction 3/i, comme un »i, une barre c> un 4. C'est fort Joli Jusqu'au moment où Je veux utiliser les fractions A cet instant critique, il faudra bien repi^endre la vieille définitioi d'un objet coupé en quatre et dont on a trois parties.

AVA.Wr- PROPOS 5

Pourquoi se montre?' difficile dans la démonstration, quand on est forcé de ne pas l'être dans l'application? Pourquoi feindre de se confiner dans un domaine idéal, quand ses affaires sont uniquement dans un domaine réel? Vous hésitez à représenter les fonctions par des courbes et à profiter des lumières intuitives qui résultent de cette figuration? soit. Pourquoi voulez-vous que je me prive de cette aide, puisque mon unique souci est de' tracer des courbes et de les étudier? Au suj'plus, tous vos dédains ne vous empêchent pas de procéder comme nous, quand par hasard vous calculez un phénomène. Méphisiophélès contemple en souriant Faust hurler de grandes phrases romantiques : il sait que, tout à l'heure , près de Marguerite , Faust se conduira comme un muletier!

Certains me reprocheront le caractère expérimental de mes démonstrations, auc/uel plusieurs esprits sont réfractaires. Pour Dieu, ne recommençons pas à tourner dans le cercle! Ceux qui sont réfractaires à la nature expérimentale de mes démonstrations , ont tort de se destiner aux Sciences expérimentales ou d'en parler!

Je me résume. Un jour l'Administration accueillit une idée que je m'obstine à trouver juste et féconde : enseigner, pour ceux qui en

ONT BESOIN, DES MATHÉMATIQUES UTILISABLES. Cette ŒUVrC, j'cSSaic dc la

reprendre.

Le monde entier goûte la clarté et l'élégance de l'enseignement français. Pour ramener chez nous ceux qui parmi les étudiants étrangers sont désirables, il est un procédé excellent, c'est de leur offrir un ensemble de Cours rattachés à un plan longuement mûri, dérivant d'une pensée maîtresse, où l'étudiant voit la fusion de la Science idéale et de l'Utile.

Je remercie sincèrement M. Turrière, agrégé de Matliématiques, professeur au lycée d'Alençon, et M. E. Bertrand, préparateur à la Faculté, d'avoir bien voulu relire les épreuves de ce livre. M. Turrière et moi préparons un recueil d'exercices qui, je l'espère, faciliteront la mise en pratique des conseils que, dans le dernier chapitre, je me permets de donner aux étudiants.