Cas particulier : conchoïde, limaçon de Pascal

/ '. Gomme cas particulier intéressant, considérons les courbes

Fig. 111.

décrites par un point D d'une droite (fig. lii) assujettie à passer par le point fixe A et dont le point B décrit la trajectoire A.

Si l'on connaît l'équation de cette trajectoire en coordonnées polaires, r = f(^), le point A étant pris comme origine, on a immédiatement l'équation de la trajectoire du point D :

r^rW + n-

Voici deux exemples.

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES

^*'. — GOXCHOÏDE.

Prenons une droite pour trajectoire A (fîg. 112). Posons ÂD=:a. \jes diirérents points de la droite mobile décrivent des courbes appelées ronchoïdes, et dont les iquations rentrent dans la forme :

^~ cos"0 ~^'o-

Toutes ces courbes admettent la droite A pour asymptote.

Quand Tq est positif DU négatif, et compris entre 0 et — a, les courbes ont la forme I et 11 avec chacune deux points d'inflexion.

Quand r^ est négatif et inférieur à — a, les courbes sont bouclées (IV).

Enfin si /'o = — a , la courbe possède un point de rebrousse ment; la tangente de rebroussement est AO

En effet, l'équation de la courbe devient :

1 — cos 0 r=za — — — -T — ; cos 6 '

r s'annule pour 0 = 0. Gomme la courbe est évidemment symétrique par rapport à AO, AO est une tangente de rebroussement.

^°. — Limaçon de Pascal.

Prenons un cercle pour trajectoire A (fîg. 113). Posons AO = a. Dans le triangle AOB on a :

K2 = ;^2 J ,^i2 2r a cos 6 , rz=a cos 0 + v/K' — a^sin^Ô . (1 )

Telle est l'équation du cercle en coordonnées polaires. Par suite, l'équation générale des courbes décrites par un point D quelconque sera :

r ^ To + a cos 0 ±: VR^ — a^ sm^ 6 . (2)

La figure 113 représente deux courbes pour lesquelles on a donné à To des valeurs égales et de signes contraires. Nous laissons au lec-

COURS DE MA THÉ. ]f.\ TIQUES GÉNÉRALES

teur le soin de déterminer les diverses formes possibles, suivan les valeurs relatives de R, a, Tç,.

Dans le cas particulier où le point A est sur le cercle (a=:R, les équations (1) et (2) se simplifient. On a :

r = 2RcosO, r=rro + 2RcosO. (l'),(2').

Les équations (2') représentent les limaçons de Pascal (,^§ 149 et 237 ) Il se produit ici un phénomène curieux. Tandis que, dans le cas

Fig. lia.

jjénéral, les courbes qui correspondent aux valeurs égales et di signes contraires -±1 r^ se forment respectivement et sont indépei dantes Tune de l'autre, ici au contraire on n'obtient une courba fermée qu'en considérant simultanément les deux valeurs i^/'o- Non > conseillons de construire les courbes pour une valeur To et dt s valeurs de a de plus en plus voisines de R.

Les limaçons possèdent deux points d'inllexion pour î\ ^ 2R ; un rebroussement pour /•o = 2R; enfin une boucle pour ;\, <; 21 .