Spirales logarithmiques

Nous pouvons représenter les fonctions logarithmique ou ex])< nentielle par des courbes en coordonnées polaires : nous décrivor ainsi deux spirales intéressantes.

/'\ — Spirale logarithmique ordinaire.

Soit d abord (fig. 1S4) :

ae

ni6

mO = log — = log r — log- a .

L'angle a de la tangente à la courbe avec le rayon vecteur est fourni par la relation

dd 1 tg a r= r -T- = — ; ^ dr m '

il est constant et indépendant de a.

Rendons compte de ce dernier fait.

Changeons la droite de référence. Prenons OX' qui fait avec OX l'angle ô'. On a :

ôr=0 — e'.

L'équation de la spirale devient :

r = ae'^i®-^')=:

ae

elle a même forme que précédemment avec un autre coefficient. L'angle a est constant; puisqu'en changeant la droite de référence, on modifie à son gré le coeflicient, l'angle a n'en doit pas dépendre. ^°. — L'aire S du secteur limité par la courbe et par deux rayons vecteurs faisant avec OX les angles Go et 6i, est (§ 174)

r^db

On peut aussi écrire :

8'\ — Pour

6 = 0, r = a = ÔB.

Pour 6 < 0, l'exponentielle :

^mo =zl ; (e — "ïB]

devient plus petite que l'unité le rayon vecteur est inférieur à UB. Pour de grandes valeurs négatives de 6, r tend vers 0. Donc la spirale admet Torigine pour point asymptotique.

Fig. 155.

COU lis DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

Cependant la somme des aires de toutes ces spirales en nombre infini tend vers une limite finie. Faisons dans les formules du ^" :

Oo = — oc, r, = 0, il vient : S = /'î ; im.

/". — Spirale logarithmique inverse.

On peut aussi construire la spirale : (^ = ^^6""'.

A mesure que 8 croît, r augmente, mais lentement. Les spires se resserrent. La figure 1")5 montre l'allure de la courbe. Elle aboutit à Torigine (r = 0) suivant la direction OT qui fait avec OX l'angle Oo (§ 80, S'').