C.lia(jue série de 10" à 10"', recommencera la série ! à
Prenons deux règles symétriques et appliquons leurs bords divisés Dans la figure 156, le trait 1 de la règle II coïncide avec le trait 3 di la règle I. Le trait j:^ de la règle II coïncide, par suite, avec le trai d'un nombre y marqué sur la règle 1 tel qu'on ait :
log yz=\og3-}-lo^x = log 3^, y = Sx.
Effectivement nous voyons coïncider les traits 2, 3, 10, de 11 règle II avec les traits (2X3 ==)6, (3 X 3 =)9, (10 X ^ — )3 » de la règle I.
Plus généralement, faisons coïncider le trait i de la règle II ave 3 le trait z de la règle 1. Le trait x de la règle II coïncide avec b trait y de la règle I.
On a : log// =^log 3 -[-log.z- = Iog.r3, y=xz.
sont identiques, il est naturel de
Inversement, pour diviser y par x, nous faisons coïncider les traits y et X des deux règles, et nous lisons le trait de Tune des règles qui est en regard du trait 1 de l'autre.
Les intervalles 12, 2 3, ... sont subdivisés en un nombre de parties (non équidistantes) en rapport avec leur écartement. Par exemple , si la règle est assez longue , les intervalles de 1 à 2 et de 10 à 20 sont subdivisés par des traits dont les distances au trait i sont proportionnelles aux logarithmes des nombres 11, 12, 13, ..., 19, 20.
S". — Cercles a calcul.
Puisque les séries 10" à diminuer l'encombrement de l'appareil en traçant les divisions sur deux cercles concentriques, mobiles lun par rapport à l'autre. Chacun d'eux porte une seule division de 1 à 10. L'appareil est représenté figure 157. La théorie est exactement la même que celle de la règle. L'avantage de la disposition circulaire est que Ton ne sort jamais des limites de la règle, qui est devenue indéfinie.
S'\ — La précision des calculs au moyen de la règle ou du cercle est naturellement très limitée. Vouloir la rendre supérieure au millième est une aberration; ces instruments très utiles et très remarquables n'ont pas été inventés pour cela. Remplacer une opération arithmétique (soit directe, soit à l'aide d'une table) par une expérience minutieuse , c'est remplacer un travail machinal et nullement fatigant par un pointé qui exige un effort d'attention et une certaine habileté visuelle : le gain est plutôt négatif. D'autre part, acheter un cercle à calcul de précision (250 francs) est une prodigalité sans nom, alors qu'on trouve des machines à calcul pour 400 francs.
Les règles et cercles usuels coûtent de 15 à 20 francs. Au bureau, les carrés, cubes, racines carrées, racines cubiques, inverses, ne se calculent ni à l'aide de machines à calcul, ni à l'aide de cercles ou de règles, pour la raison qu'il en existe des tables très portatives de 1 à 10000 qu'on peut se procurer pour quelques francs.
Fig. 15-
203. Remarque sur les aires comprises entre une courbe et son asymptote.
/°. — Le lecteur se reportera au § 35 où sont construites les courbes :
n est quelconque, mais positif; on suppose x^O.
Toutes admettent les axes comme asymptotes. Elles forment deux faisceaux [n^ \, n <^ l) séparés par la courbe symétrique t,x= \, qui est une hyperbole équilatère. Elles passent toutes par le point de
Fip. 15X.
coordonnées x=z'q = \\ elles ne se coupent pas ailleurs.
Les courbes pour lesquelles /i>>l, sont plus rapprochées de Tasymptote Oj^ que de l'asymptote Oy; , à égalité de distance de l'origine; c'est l'inverse pour n<^{.
i^. — Ceci rappelé, nous nous proposons de construire les courbes intégrales (où x varie entre 0 et c^) :
On a immédiatement (fig. 158) :
Pour n =rr 0 , s se réduit à la droite de pente l . Pour n = 1 , nous retrouvons la logarithmique. Toutes les courl>es Ssont tangentes entre elles poiu* x r=r 1 ; elles admettent toutes une tangente verticale (/i rr= 0 excepté) pour x = ().
FONCTION LOGARITHMIQUE ET FONCTION EXPONENTIELLE 2i7
S", — Voici maintenant le problème fondamental que nous avons à résoudre. Toutes les courbes dérivées (i) ont Ox et Oyj comme asymptotes. Dans quel cas l'aube totale comprise entre une courbe et son asymptote est -elle finie?
La formule (3) répond à la question posée.
Les courbes S pour lesquelles n >> 1 , tendent vers une asymptote horizontale pour x^=oc; les aires totales comprises entre les courbes r, correspondantes et Ox, restent finies et égales à l : (« — 1). Mais pour ces mêmes courbes, S devient infini pour x=zO; les aires comprises entre les courbes y; correspondantes et 0?/ sont infinies.
Inversement pour n<^{ , les aires comprises entre les courbes -r; et Ox sont infinies; les courbes S s'élèvent indéfiniment quand x croît. Mais les aires comprises entre les courbes y; et Oij sont finies; les courbes S aboutissent verticalement pour .rr=0, en un point d'ordonnée 1 ; [n — l).
4°. — Ce qui se passe pour ai= l, c'est-à-dire pour la logarithmique, découle immédiatement du cas général.
A mesure que n supposé >> 1 diminue , l'asymptote horizontale de la courbe S s'élève. A mesure que n supposé <^ i augmente, le point où la courbe S rencontre l'axe des ordonnées s'abaisse.
On en conclut pour /i = l :
log ^ = ex: . log 0 = — c-c.
Remarque 1.
Les considérations précédentes suffisent à indiquer dans tous les cas si l'aire totale comprise entre une courbe et son asymptote est finie. On la comparera à l'une des hyperboles ci- dessus étudiées. Si elle est toujours plus éloignée de son asymptote qu'une des hyperboles pour lesquelles l'aire est infinie, Faire à évaluer sera infinie. Si elle est toujours plus près de son asymptote qu'une des hyperboles pour lesquelles l'aire est finie. Faire à évaluer est finie.
Pour faciliter la comparaison» on choisit Fasymptote pour un des axes de coordonnées.
Par exemple, soit à déterminer si l'intégrale :
f sin x
est finie.
Nous comparons la courbe r^ = 1 ; sin x, à l'une des précédentes. Or, pour X très petit, sin x se confond avec x\ la courbe -/] = 4 ; sin a;, se confond avec y; = 4 '.x. L'intégrale S se comporte donc comme un logarithme pour x très petit : elle est infinie. Gela n'a rien d'étonnant : ici l'intégration est possible, et l'on a :
■—. = loff t^ iT
smr » o 2
Uemabqli: II.
Soit à intégrer une expressron de la forme :
On suppose -/(a) ^0, et généralement que yjx) ne s'annule pas dans l'intervalle de x^ à .r, . L'intégrale n'a de sens que si l'intervalle de Xq à .r, ne contient pas a. Car au voisinage de x = a, l'intégrale est comparable au logarithme pour j- = 0. Il suffit de transporter l'origine des coordonnées au point x = a, de poser par conséquent :
z = x — a, pour que la quantité sous le signe j devienne :
dz
Or, par hypothèse, le crochet a pour 3 = 0, une valeur (inie quelconque, que nous pouvons considérer comme constante pour de très petites variations de z. Tout se passe donc comme si nous opérions sur dz ; z.
204. Manières suivant lesquelles les fonctions deviennent infinies ou s'annulent.
Considérons les fonctions x'\ où n est positif. Quand x s'annule, .r" s'annule. Quand ./• croît indéfiniment (devient infini)^ jt* croît luimême indélininient [devient infini).
/". — Pour la même grande valeur de r, calculons les valeurs de x'\ en donnant à n une série de valeurs.
Nous obtenons des résultats (jui croissent à mesure que n augmente. Si n est très inférieur à 1 , V accroissement est lent (voir les courbes du § 31). A la limite pour ;i=rO, on a x" = \, si grand que soit x ; la fonction x^ ne devient jamais infinie.
Nous classerons les manières suivant lesquelles les fonctions deviennent infinies, en les comparant à une puissance de la variable Nous définirons ainsi le degré de la fonction pour de grandes valeurs di la variable. C'est ce que nous faisons au 5:; 36 pour les fonctions entières
î^. — Pour la même petite valeur de x, calculons les valeurs dt x'\ en donnant à n une série de valeurs.
Nous obtenons des résultats qui décroissent à mesure que n ciug mente. Si n est très inférieur à I, la diminution est très lente (voîj les courbes du § 31). A la limite pour n = 0, on a x"n=l, s petit que soit.r; la fonction x^ ne s'annule jamais, sauf pour .r = 0 où elle perd toute signification.
Nous classerons les manières suivant lesquelles les fonctions s'an nulent, en les comparant à une puissance de la variable. Nous défi nirons ainsi le degré de la fonction pour de petites valeurs de h variable. C'est ce que nous faisons au § 36 pour les fonctions entières.
S"". — Ceci posé, cherchons comment log.T devient infini quand x croît indéfiniment.
Nous avons montré au paragraphe précédent que log.r, tout en devenant infini pour x très grand , sert de transition entre les fonctions qui restent finies et celles qui deviennent infinies. Il en résulte que le quotient : log.r ; r",
tend vers 0, si petit que soit n (pourvu qu'il soit positif, c'est-à-dire pourvu que x" tende vers l'infini).
La fonction log x se conduit donc comme une puissance, sinon nulle, du moins aussi petite qu'on veut de la variable.
4"". — ^- Ainsi la fonction y = \ogx, tend vers l'infini avec une lenteur extrême ; il faut donner à x des valeurs extraordinairement grandes pour que?/ prenne des valeurs simplement grandes : ce qu'on vérifiera à l'aide d'une table de logarithmes.
Inversement considérons la fonction : e^.
Il résulte de ce que nous venons de dire qu'elle croît prodigieusement vite quand y croît, plus vite que toute puissance ?/" de la variable. D'où résulte que le quotient : e^ ; ?/", (1)
tend vers l'infini quand y croît indéfiniment, si grand que soit n.
La fonction exponentielle se conduit donc comme une puissance aussi grande qu'on veut de la variable.
5". — Considérons enfin la fonction : 7/V~"=l ; [e-' ', y''). (2)
Puisque la fonction (1) tend vers l'infini quand y croît indéfiniment, si grand que soit n, la fonction (2) tend vers 0. L'exponentielle négative diminue si vite quand y croît, qu'on peut la multiplier par telle puissance qu'on voudra de la variable, sans pour cela l'empêcher de s'annuler.
