Chaînette

/*". — La chaînette (fig. 162) a pour équations :

y = h cosh ^ , dy = sinh -j- . dx ;

1 -|- sinh^ -V- 1 (/.T- rr= cosh- -T- . dx~ , s= h sinh -j- .

Ces relations peuvent se mettre sous la forme :

7 ds dy ^ ^

^ dx ' dx ' ''

Menons la normale BN au point B, et la tangente BT. Projetons

le point E, pied de l'ordonnée, sur ces droites. Les relations préc( dentés signifient que :

W=.OA = h:' BGrrzarcAB==:5.

2". — Calculons le rayon de courbure (n^ 91). On trouve aisément :

Or, dans les triangles semblables BFE, BEN, on a :

BE'^BF.BN; doù: pr=BN.

Le centre de courbure B et le point N sont à la même distance du point B de part et d'autre de la courbe. En particulier, le point de rebroussement A' de la développée est à une distance du sommet A :

ÀA' = AO = /i.

3°. — Le problème pratique ordinaire (Voir Mécanique, § 178) consiste à faire passer une cbaînette, d'axe Oi/ vertical et de longueur /, par deux points dont la distance verticale est /> et la distance horizontale a.

Appelons x' et .r" les abscisses inconnues de ces deux points; y' et y" leurs ordonnées, s' et s" les arcs comptés à partir du point le plus bas. On a :

h =z y' — y" = h ( cosh -r cosh r- |,

lz=s' — s' =z hl sinh j — sinh r ),

— 2 -j- - cosh -T- cosh —. 2 sinh -j- sinh -j- ) ,

l^ />'^ ^ /,-. ('— 2 + 2 cosh "''-^^] = 2IC- (— 1 + cosh I V D'où enfin : /- — b"^ = \h- sinh- ,^^- , \'L- — />- = 2h sinh -^ .

Pour déterminer Ji, on est ramené à l'équation transcendante :

sinh ./• = Ixj:.

Sa résolution ne présente aucune difficulté , grâce à la table numérique du ,^ 218. On détermine l'intersection des deux courbes :

y^ =: sinh .r , ^2 = ^^'^^

Il suffit de construire la première au voisinage du point d'intersection dont on connaît immédiatement la position approchée.

• v/ua

ijjiua j

LiypCX

UUXXlj^t

ICO •

on;

95 iO

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