Définition des fonctions hyperboliques
/'. — Soit l'hyperbole équilatère :
Traçons le cercle de rayon OA tangent au sommet A. D'un point Q, menons la tangente QT :
elle définit un angle ^ (voir ji; 184, où Ion utilise sous le même nom 1 angle complémentaire .
De Q comme centre, traçons la circonférence TP ; le point P où elle coupe l'ordonnée QP appartient à l'hyperbole . On a :
tg», or=i.
Fig. 160.
coso '
TQ' = OQ' — or' = x'—\=zy\ OQ cos 9 = X cos 9 r= OT =r 1 .
^^ — Exprimons maintenant x et y en fonction du double de
l'aire du secteur OAP jouant le rôle de variable. Posons : u = 2 aire OAP .
u = 2 aire O AP r=r 2 aire OQP — 2 aire AQP =xy--2 f .ydx. du = xdy — ydx.
Utilisons (1) ; on trouve aisément :
Intégrons: u=^\og (x-{-y), — u=:log(.r — y).
Il ne faut pas ajoutet* de constantes d'intégration, car on doit avoir : ii = 0 pour x=:i, ,V = 0 •
D'où enfin : .r -\- y =: e"" ^ x — yz=ze~'''\
^". — Nous trouvons là deux fonctions de la variable u qui se
présentent très fréquemment dans les applications. On leur donne
les noms de cosinus hyperbolique et de sinus hyperbolique de u.
Nous écrirons donc :
X =. cosh u = 4î = ,
À cos (p
e" — e~ " î/==sinh «=:— ^ = tg9,
^^tgii» = ^.^^.=sino.
On vérifiera facilement la relation (§ 197) :
X cos (p ' ^ ^ \ 4 ' 2 /
213, Amplitude hyperbolique.
/». - La fonction : u = log tg (^ + 1), n ^£^^
a une importance extrême. Elle se présente dans toute une série d'applications, en particulier dans la construction des cartes marines ou de Mercator. Nous devons donc en dire quelques mots. Aussi bien, nous l'avons déjà rencontrée ; c'est à elle que se réduit l'intégrale elliptique de première espèce pour A:=l, a = 90° (§ 186). Nous appellerons (p Vamplilude hyperbolique de V argument w, et
nous écrirons : (p=:Amhiz.
i^". — Le calcul en est immédiat, si Ton possède une table des tangentes naturelles (§ 58) et une table suffisamment étendue des logarithmes naturels (§194). On peut utiliser une table ordinaire des tangentes donnant les logarithmes vulgaires et multiplier par 2,3026 (inverse du module). La table du § i6 permet de passer des valeurs de o en degrés aux valeurs en arcs et inversement.
Par exemple, soit o = 20°; il faut donc calculer :
LogtgSrj- Autrement on a :
u = log tg 55°.
0,1548, 0,1548X2,302 tg 55" = 1,4281,
log 1 , i2 = 0,3507, log 1 ,43 - 0,3577.
Par interpolation : log 1 ,4281 ^ 0,3563.
/^. — En vertu de la relation fIu = (Io '. cos^,
la courbe u = f(o), est d'abord tangente à la bissectrice des axes
pour u = o = 0. Elle reste longtemps presque confondue avec cette bissectrice, puis s'élève rapidement au-dessus d'elle (lig. 161).
Pour o=iT,:2,
on a : u = ^r:,
conformément à ce que nous avons démontré au § 203 que l'aire comprise entre une hyperbole équilatère et son asymptote est infinie.
La fonction u n'est définie que pour les valeurs de o comprises entre
-hz ' 2;
en dehors de ces limites, la tangente devient négative, le logarithme est imaginaire.
Pour deux valeurs égales et de signes contraires de o, la tangente prend des valeurs inverses; son logarithme prend des valeurs égales et de signes contraires. Cela résulte, du reste, de la définition de la fonction par l'intégrale définie. Nous donnerons donc seulement les valeurs de u, quand o varie de 0 à 90°.
214, Fonction w = logtg( ? -j- 9 )î (l^s nombres u
sont multipliés par 10 ).
o = Amplitude hyperbolique w = Amhzz, « = latitude croissante.
cp = Amh u
0 = Amh u
0 = Amh u u
Dans la table précédente, les angles o sont exprimés en degrés, les quantités u en arcs. Dans les Traités de navigation , on exprime généralement w et 9 en minutes de soixante au degré. La minute
Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 17
est en effet l'unité usuelle ; à la surface de la Terre , elle correspond au mille marin de 1851", 80 (approximativement 1852™). Pour passer de la table précédente aux tables des Traités de navigation, on divisera les nombres u par la longueur de l'arc d'une minute, soit
Par exemple, pour q = 10°^600 minutes, la table donne ur=0,1754. En minutes on a:
215. Propriétés des fonctions hyperboliques. /". — On vérifiera les relations suivantes soit directement, soit en utilisant l'amplitude (p.
cosh* u — sinh- z; r=: I ;
cosh u -j- sinh u = <?", cosh u — sinh u z=r e ~ " ;
cosh ( — u) = coshu, sinh ( — u) = — sinhu;
sinhO==0, coshOr=1, tghO=:0;
sinhoc=oc, cosh v>c = ;-r: , tgh c/^ r= 1 .
^°. — Formules d'addition.
cosh [u -\- v) =z cosh u cosh v -f- sinh /; sinh v , sinh iu -\-v) = sinh u cosh v -\- cosh u sinh v. Faisons: u = v, 2r, 'ir. ...: il vient:
cosh 2ii = cosh' u -\- sinh* u = 2 cosh- u — 1=2 sinh- u -j- 1 sinh 2i; = 2 sinh u cosh u ,
S*". FORMl LES DK DÉRIVATION,
(I sinh u = cosh u . du ^ il cosh u = sinh u . du\
d terh u = ri — . *^ cott^-h u =r — -1,
^ cosh* u ^ smh* u
4" Fonctions inverses.
j" = cosh li , u = arg cosh x = log {x -|-V •^" — ^ K
l 1 -4-iF
a? = tgh u , u = arg tgh x = -j log ^±^ , (^* < 1 ) ,
j-rzzcotghu, U = arg cotgh X = ^ log — -^—7-, (x*>>l),
X = sinh iz, u = arg sinh x = log (a? -]- \^x* -\-^ )•
On vérifiera les relations :
arffsinha:^= / — — =4=r, ars;-coshir= / ' --^r-,
arg-tgha:^^ j j^^^^ arg cotgh a? = — / ~^^^^ .
Les analogies entre les fonctions hyperboliques et les fonctions circulaires sont remarquables; rien n'est plus propre que leur étude pour comprendre comment s'introduisent et se définissent des fonctions nouvelles.
