Déâuition des quantités complexes

/". — Dans le plan soient tracés deux axes rectangulaires Oa?, Oy. Jusqu'à présent nous avons considéré les distances d'un point P à ces axes comme de même espèce^' nous allons maintenant les regarder comme d'espèces différentes , irréductibles les unes aux autres. Les distances à l'axe Oy [abscisses) seront dites réelles; les distances à l'axe Ox [ordonnées) seront dites imaginaires. Le lecteur voudra bien dès à présent donner aux mots réel et imaginaire^ non leurs sens vulgaires, mais leurs sens de définition. Il n'y a rien que de très réel au sens vulgaire dans les quantités imaginaires.

t. — Un point P du plan est défini par une quantité complexe, c'est-à-dire formée d'une quantité réelle et d'une quantité imaginaire. Pour ne pas les confondre, nous mettrons la lettre i en facteur de la quantité imaginaire. Le point P est donc complètement défini par la quantité complexe:

^Jl

JC

Fig. 163.

bi.

Nous pouvons convenir que le même symbole a-^bi représente, non plus le point P, mais le vecteur QP mené de l'origine au point P. Il va de soi que les quantités a et b sont susceptibles de signes : par convention, a est compté sur Ox positivement à droite de 0, négativement à gauche de 0; b est compté sur Oy positivement audessus de 0, négativement au-dessous de 0.

S°. — Multiplier une quantité réelle par le facteur i, c'est la transformer en une quantité imaginaire : le vecteur représentatif OA réel et positif vient en OA"; le vecteur OC réel et négatif vient en OC.

Dans ces deux opérations, on peut dire que le facteur i est un opérateur qui fait tourner de 90° dans le sens de la flèche le vecteur auquel on l'applique.

Cherchons à quelles conditions cette règle deviendra générale.

Soit OF un vecteur a~\-hi', le vecteur OP obtenu en faisant tourner OP de 90** dans le sens de la flèche , a évidemment pour symbole — h-\-aL Pour que la règ-le énoncée soit «générale, nous devons avoir identiquement :

[a-\- I)i)i = — h-\-ai, d'où : i- = — l.

Nous conviendrons d'appliquer aux quantités complexes les règles ordinaires du calcul algébrique et de remplacer partout i* par — 1 .

P. — Le lecteur doit se garder de poser i := )J^— 1 . Le signe i indique qu'on porte une quantité réelle dans une certaine direction; c'est aussi un opérateur qui fait tourner un vecteur de 90°. Effectuer deux fois l'opération (multiplier par /, puis encore par z, ce que, pour faire bref, nous énonçons multiplier par i*), c'est donc retourner un vecteur, c'est changer son signe; l'opération i- est donc identique à l'opération soustractive. Nous n'énonçons pas autre chose; il n'y a là rien de mystérieux , rien d'imaginaire au sens vulgaire du mot.