Troisième exemple
1\ — Soit à calculer les intégrales indéfinies :
G = / e"*^ cos bx . dx, S = / e*^ sin bx dx.
L'intégration par parties [% 158) donne :
e'^Qosbx , i>S e'^sïn'bx bC
Résolvons ces équations par rapport à G et à S, il vient :
^ a cos bx -1- b sin bx . ^
G = 2 4~Ai • ^"" ~i C-onstante, (1 )
„, asinbx — b cos bx , ^
Î5=: ^ï-^^ • ^"' I Constante. (2)
9'\ — • Remplaçons a par — a; calculons les valeurs des intégrales définies :
Gi = / e~ "" cos bx . dx, S, = / e'- "" sin bx . dx.
Pour la limite supérieure, les expressions (1) et (2) s'annulent; pour la limite inférieure, l'exponentielle devient l'unité. On trouve en définitive :
,>". — Considérons Ci et S, comme fonctions de a. Nous pouvons
3bt)
donc* multiplier les quantités qui sont sous les signes / , par da et
intégrer entre deux limites, a et c, par exemple. C'est effectuer l'opération étudiée au § 301. -/". Il vient :
eus Jj.r d.'
=Y'»..-(';it'). c:
. sin h.r d.r = arctg -j- — arctg -j- . (5)
On vérifiera ces identités, en considérant c comme une constante et en dérivant sous le signe / par rapport à a. De même, on dérivera les seconds membres par rapport à a.
4°. - Posons dans les équations précédentes c = 0, a=^^r.
L'intégrale (4) est évidemment infinie. L'intégrale (5) devient :
sin It
dj
a rets
arctg 0^=-f--^.
On doit prt'iidre le signe -j- si />>(). le signe — si /) << 0. Gherclioiis à nous représenter le sens de ce résultai utilisé au {ii 270.
Fig. 19;'.
Remarquons d'abord que le résultat est indépendant de h. Si nous
dx du posons :
hx =^u, — =
il vient
/sin />./• , / sin u , dx=z / du.
Nous avons étudié au § 62 la fonction sinx ; x. Construisons les fonctions sinbx ; x pour deux valeurs de b, b et ji. La figure 195 représente en traits pleins les sinusoïdes, en pointillé les courbes obtenues en divisant les ordonnées par les abscisses correspondantes.
INTÉGRALES DÉFINIES. INTÉGRALES DOIRLES On a, quel que soit a :
/sin Jjx , /
sin .^
et par suite
r sinhjL- , / sin./- , /
sin ij.r
dx
En particulier faisons a^^::. La première et la troisième intégrales représentent les aires OAB, OGD ; Téquation (7) exprime qu'elles sont égales. On démontrerait de même l'égalité des aires BFG, DEB; ... et ainsi de suite.
L'intégrale :
/ sin h..
se compose donc d'une série infinie de termes décroissants OAB, BFG, ... alternativement positifs et négatifs, indépendants du nombre h.
La série est convergente
(§249,^°), L'équation (6)
nous apprend que sa valeur est 7û : 2.
La figure 195 suppose '^ ,
A>0. Si i><0,
tous les termes de la
série changent de signes ; la valeur devient 5°. — Nous pouvons considérer l'intégrale :
Fig. 19<i
sin hc
dx=^(^{b).
comme une fonction de h. La courbe représentative (fig. 196) se compose de deux droites AB, CD, qui s'arrêtent brusquement aux points où elles rencontrent Taxe des ordonnées. A l'abscisse /)=::0, correspond la valeur î/ = 0, moyenne des valeurs H-tt ; 2.
Intégrales doubles et triples.
y^ — Soit à évaluer le volume du solide limité par le plan xOy^ par un cylindre dont les génératrices, parallèles à Oz, s'appuient
dr
Fig. 197.
sur une courbe ABGD ... A, enfin par une surface dont la distance des points au plan xOy est :
Découpons le plan .rO?y en éléments finin AS au moyen de deux
faisceaux de courbes (parexemple : desdroites parallèles aux deux axes de coordonnées; des cercles concentriques ayant 0 pour centre et des droites passant par le point 0; ...). Le volume de chaque élément est approximativement 3AS, où z est la hauteur qui correspond à un point de l'élément.
Comme rien ne fixe le choix de ce point, Tapproximation est d'autant meilleure que nous diminuons l'arbitraire, c'est-à-dire ([ue nous prenons les éléments plus petits .
La valeur approchée du volume est :
V=r2]-AS;
le symbole Zd signifie qu'on prend tous les éléments AS du plan xOy qui se trouvent dans la courbe fermée ABC... A.
L'approximation ne dépend pas de la forme des éléments, pourvu que dans les divers modes de décomposition ils soient d'aires du mAme ordre. Elle est meilleure si, au lieu de prendre au hasard dans l'élément le point oii l'on mesure la hauteur 3, on le choisit toujours au centre de fip^ure : il y a chance pour qu'une compensation plus exacte s'oi)ère entre les parties moins hautes et les parties plus hautes du volume élémentaire, à la condition que les variations de : soient suffisamment continues.
Quoi qu'il en soit, nous n'obtenons ainsi qu'une approximation.
?*•. - Il s'agit d'obtenir une solution rigoureuse dans le cas où 3 s'exprime par une fonction continue des coordonnées : ici interviennent les intégrales doubles.
Si les deux faisceaux de courbes sont des droites parallèles aux axes de coordonnées (droites parallèles à Ot/ distantes de dx^ droites parallèles à Oj: distantes de dy)^ l'élément de surface est un rectangle dS=:dx dy. La quantité à évaluer est :
/ / zdx dy .
Le symbole / / se lit double somme de. L'expression (2) diffère
de (1) en ce que nous imaginons pouvoir prendre les éléments dS infiniment petits^ c'est-à-dire inférieurs à toute aire donnée à l'avance. L'expression (2) est la notation d'une opération que nous apprendrons tout à l'heure à effectuer.
Si les deux faisceaux de courbes sont des cercles ayant l'origine 0 pour centre et des droites passant par l'origine, l'élément dS est à la limite un rectangle : g?S = /' ^r c/G .
La quantité à évaluer est :
