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i'\ — Soit à évaluer l'intégrale :

On a

e-^'dx= e-y'dy.

foo /lac /*cc /»oo

e- ^'dx . / e- "'dy = e' ^^^ ^ ^'^dx dy .

Jo ' Jo Jo

S^ peut être considéré comme le quart du volume total d'un solide

Fig. 202.

de révolution , dont la méridienne est : z = e ^* (§ 205) , ou dont la hauteur js = AB, au-dessus de xOy, est : z = e~^'"*^^*^ = e~''* ; dx dy est l'élément de surface du plan xOy pour un certain mode de découpage. L'intégration va de 0 à oc pour chacune des variables ; on a donc le volume du solide qui correspond à un quadrant.

i 7 4 COURS DE MA THÉ MA TJQ UES GÉNÉRA LES

Mais nous savons que le résultat est indépendant du mode de découpage.

Changeons donc de coordonnées. Découpons le plan xOy en couronnes ayant 0 pour centre et comprises entre les cercles de rayons rei r-^dr\ l'aire de la couronne est 2T,rdr.

On a donc l'intégrale immédiatement calculable :

= / e '' 2T.rdr = — r,e '"'

La fonction x- éidiiit paire, on a évidemment (§ 205) :

f ]^^ e- '\lx =^ 2 / " e-'^dx = yj^ . j^°. — Remplaçons r- par ax-; l'intégrale conserve la même valeur :

f e—'-s'ad.r=:sr,\ F(a) = /

oc

e-^'dx = ^.

Nous délinissons ainsi une fonction F(a) d'une variable qui entre comme paramètre dans une intégrale définie ({5 301, /" . Dérivons par rapport ii a (J^ ^Mi^S") :

da J ^ 2 ai

et ainsi de suite.

Pour a = 1 , il vient la formule générale :

,f\ — Dans la formule obtenue au /", remplaçons .r par x-\-a : f c-<'-">V/-rr:= f^^e-"'e-^'-'^dx = s'z.

f ^ e- '* ^--'"' dx = c"* v^z .

L'intégration allant de — ^c k -f- ^>c , on rencontre pour le même dx deux éléments qui correspondent aux valeurs H^*^ de la variable. Leurs valeurs sont :

e-"' <?-''" dx , e-^'- c---^ dx.

Il revient au même d'intégrer entre — oc et -j-'-^ï °^ d'écrire ces deux éléments et de n'intégrer qu'entre 0 et ce. D'où :

/ "" c-^* e -2*^ dx =z P c-^* [€"'''' + e=^«^) dx = e"' \ tT .

4°. — Posons a = ix\ on a (§ 230) :

^liax | e - 2i<xx ^ 2 cos 2air.

D'où la formule : / e~^^ cos 2(xx . dx^=e~°^'^ —^ .

5^ — Reprenons la formule du i^" :

2 y/a Posons a = ia. On a (§ 230 et ,^ 224) :

e '^'^ == cos air- — i sin ax-,

Via v^a

D'où : / cos aa?- . dx=^ 1 sin a.P- . dx =z-^y -^ .

Nous avons utilisé ce résultat (i^§ 171 et 179 j dans la discusision des Intégrales de Fresnel.