Intégrales triples

i"". — Il est bien rare qu'on ait à effectuer une intégrale triple; mais l'intégrale triple se présente tout naturellement en Physique comme la notation d'une opération pouvant être effectuée y' sa transformation en intégrale double (§ 488) conduit à des théorèmes de la plus grande importance pratique. Nous avons souvent fait observer qu'une des caractéristiques du Calcul différentiel et intégral est la représentation des opérations et l'étude de leurs propriétés, alors même que, dans presque tous les cas, elles sont inabordables avec l'aide des fonctions actuellement considérées comme usuelles.

^". — L'intégrale triple a pour notation :

zy, z) dxdy dz. (1

Elle s'énonce triple somme de dx, dy, dz. Nous découpons un solide en petits éléments de volume dx dy dz par des plans parallèles aux plans xOy, yOz, zOx, supposés rectangulaires.

Nous multiplions chaque volume élémentaire par un facteur f{x^ y, z) qui dépend de sa position (il mesure, par exemple, la densité moyenne de l'élément); nous faisons la somme de tous les produits similaires pour tous les éléments de volume; dans l'hypothèse choisie, nous obtenons la masse totale du solide.

Le symbole (1) représente donc une opération parfaitement claire.

Il est loisible de varier le mode de découpage de l'espace. D'une manière générale, soit a, i), c, les coordonnées quelconques qui

376 COURS DE MATHÉMAriQUES GÉAÉRALES

servent à repérer un point de l'espace; soit dv l'élément de volume de forme quelconf/ue; l'opération (1) peut aussi bien s'écrire :

fjl

fia^ I), c) di

Il est évident f/ue le mode de découpage n'intervient pas sur le résultat.

Je suppose naturellement que les volumes sont pris assez petits; l'erreur diminue à mesure qu'ils sont plus petits; elle est nulle, si je les prends infiniment petits, c'est-à-dire plus petits que toute quantité donnée à Tavance.

Ainsi pas de difficulté sur la définition et le sens de l'intégrale triple. La plus simple exprime la grandeur du volume lui-même; on a :

Hïf''=fff "■'■'""--

dans le cas où le découpage est obtenu par des plans parallèles aux plans coordonnés supposés rectangulaires.

S". — Les difficultés (non théoriques, mais pratiques) surgissent quand on arrive au calcul. Nous allons montrer que l'intégration triple revient à trois intégrations simples échelonnées,' c'est dire que la seconde n'est possible qu'une fois la première réalisée, la troisième (ju'.'iprès la seconde effectuée.

Considérons en effet le tube de section rectangulaire découpé dans le volume par deux plans distants de dz parallèles à -rOij, et deux plans distants de di/ parallèles à ./ Oz (voir fig. 3U). Déterminons la valeur de l'intégrale :

di/ dz j f\.i\ fi , z] dx

pour tout ce, tube. Les variables // et z restant constantes, nous sommes ramenés à une intégrale simple par rapport à x, intégrale dont les limites sont des fonctions de // et de z. Gela signifie que la somme effectuée pour les volumes élémentaires qui remplissent le tube, est une fonction de la position du tube repérée par le point où son axe coupe le plan yOz ; ce qui est évident.

Imaginons cette première opération effectuée, nous sommes ramenés à l'intégrale double :

d!,dz /-{.T. Il ,z)dx^-U(y,z) d;i dz,

qui implique (§ 306) deux intégrations simples échelonnées.

Nous admettons comme évident que le résultat est le même quel que soit l'ordre des intégrations; l'opération peut être effectuée de six manières différentes (j"//-, ->""•//, y^^^ .V^-^» ^^^}h ^î/-^)- L,'indépendance du mode de groupement des éléments est une proposition connexe de l'indépendance du mode de découpage. Pourvu qu'en <léfinitive on n'ait rien oublié, le résultat doit être le même.

Fonction Gamma.

311. Définition de la fonction F, intégrale eulérienne de seconde espèce.

i'\ — Nous poserons :

r{n)= x'^-'e-'^dx.

La fonction x*'~^ e~'^ se réduit à x"~^ au voisinage de x = Oj puisque e~^ est très approximativement égal à 1.

Si n>>l, x''~'^ s'annule pour ^ = 0; pas de difficulté.

Si n<^l, x''"^ augmente indéfiniment quand x tend vers 0. Mais il n'en résulte pas que l'intégrale devienne infinie : nous avons démontré (§ 203) qu'elle reste finie si n>>0. Nous supposerons donc qu'il en est ainsi,' la fonction F nest définie que pour des valeurs positives de l'argument n.

Quand x est très grand, nous savons (§ 204) que i(?'*~'e~'^ tend vers 0, si grand que soit n\ nous sommes même assurés qu'il diminue assez vite pour que l'intégrale reste finie. Gela résultera du reste de notre calcul.

'2\ — On a : d{x'' e-'=)=^[nx^-' e-" — x'' e-'-)dx\

I x''e-='dx=z—\x''e-^\Jç-nj x""-^ e-\

Or x"* e~'^ s'annule pour .r = 0 et ic = oc. Il reste :

rin+l) = «r(n). (1)

Telle est la formule de récurrence qui nous permet de passer d'un nombre quelconque n au nombre suivant n-\-i. Rien ne suppose n entier.

S"". — Si n est entier, la formule donne successivement :

r(2) = ir(i).

Multiplions toutes ces équations membre à membre :

T\n) = [n-{){n-2)...{n-q)V[n-q\ T{n)=.[n-\){n-2)...iA\\).

Or: V{\)=re-^dx = \\

Jn

d'où enfin : F(«)r=1.2.3. ... {n — \) = (n — \)\

Le symbole (n — 1) ! s'énonce faclorielle n — 1. Le produit qu'il représente, intervient à tout instant dans les développements en série (,^§ 12 et 254).

Voici les valeurs des premières factorielles :

4". — Supposons n non entier. S'il est supérieur à 2, posons îi — q -^ j compris entre i et 2. On a :

V[n) = [n — i)[n—2)..Ap-\-\)pA\p)

5040 40320 où q est entier et />

\\n) sera connue si nous pouvons calculer V{p). Si n est inférieur à 4, nous utiliserons la formule :

Nous ramenons ainsi le calcul de \-\n) relatif à un arg-ument n quelconque, mais positif, au calcul de r(/>), pour Tai'gument /> compris entre 1 et 2.

312. Valeurs numériques de la fonction y[n). Le tableau ci -joint donne K's valeurs de la fonction entre les valeurs 1 et 2 de la variable. Pour ces limites, on a :.

Valeurs de \\n):=^\ .i'"'^c~'Jj\

entre n=^\ et it=z2, multipliées par 10\

97 Ni

A partir de 1, la fonction décroît jusqu'à /i = 1,4616 : elle vaut alors 0,8856. Puis elle recommence à croître.

La figure 203 représente l'allure générale de la fonction F. On a évidemment : r{0)r=oc.

On peut se demander pourquoi la courbe croît constamment entre n = 2 et n = 3, alors qu'on a :

et que r(n — 1) commence par décroître à partir de ?i — 1=4. Gela tient à la croissance plus rapide du facteur n — 1.

Fig. 203.

Ainsi pour « = 2, on a r(2)=: 1 ; pour n=:2,l, on a n — 1 =:^ 1,1, r(l,l)=. 0,9513, r(2,l)==l,l X0,9513 = l,0464.

Même remarque pour les autres intervalles ; raisonnement analogue pour expliquer l'allure de la courbe entre 1 et 0.

La table précédente suffit à calculer les valeurs de F pour n quelconque. Soit par exemple /i=r4,4 et ;2r=4,8. Nous avons :