Développement en série au moyen de la fonction r

On rencontre, dans la théorie de l'arc-en-ciel et dans d'autres questions de diffraction, la fonction de 3 définie par l'intégrale :

0(2)=: / cos~(u^ — zu)du.

Cette fonction et plusieurs autres analogues, également utilisées en diffraction, se développent au moyen des fonctions T. Montrons-le, en modifiant les notations pour simplifier l'écriture.

Soit l'intégrale : / cos (.r^ -|- zx) dx.

C'est la partie réelle de : / exp {ix'' -\- izx) dx.

Développons en série, suivant les puissances croissantes de z.

1 e^^ [ix^) dx -\- . ^ j X exp (ix^) dx -\- . . . -\- ~ — p / x'' exp [ix^) dx.

Posons iV = — y, x^ = iy; x =-- [iyy^ ^ dx = — ^

/ x"exp{ix')dx= ' .^— / e-^'y^^dy:^-r^i'''tr r(-~^'

On se reportera au § 227 pour calculer les puissances de i. Nous sommes ainsi ramenés aux fonctions F. Il est inutile de pousser plus loin le calcul.