Intégrale eulérienne de première espèce

/°. — On appelle intégrale eulérienne de première espèce la fonction B(/), q) de deux variables />, q, définie par l'intégrale :

B{p, q) =z rx^'-\\ — xY ' ' dx.

La fonction est symétrique par rapport aux variables p et q ; elle reprend la même forme en changeant xen \ — x; on a B[p,q) = B(ç^,/)) . On peut lui donner deux autres formes usuelles.

Posons: x = cos-o, 1 — r = sin-o, (Jx=2 — 2 cos ç sin ç (/(p ;

B{p,q)=z2 f *^ cos'p-'o . sin^^-^^o . do.

X f , dt

Posons : t=. ^-^, -^==7-^7' ^^= W+W'

ij?". — On peut exprimer les intégrales de première espèce à l'aide de la fonction V. En elTet, dans la l'onction V prenons pour variable x^ et y^ à la place de x. On a :

r(p) = 2 rc-^Vr"-'" '(/.r, (2)

r{q) r2 Te "*i/"'-'dif.

En vertu du s> 'M)H, nous pouvons écrire :

V{p) r(</)---4 rr'e-^' "V/-^'-';/-^" 'JjrJt/.

Posons : r' = j?- -|- ^-, .r rrr- r cos o, y = ^ sin o.

D'après la définition de l'intégrale double, remplaçons l'élément d'aire dx dy par rdodr , puisque c'est maintenant r et o qui sont les variables indépendantes.

On trouve :

■rt

V{p) V{q) = i r p '■'r'^ '^'dr f ' cos'^-'o . sin'^-'ç . ^o. D'où la formule fondamentale :

,f\ — Dans la formule (2), faisons 2p — 1=0. Nous trouvons (§ 309) :

r('^)=2 f%-''dx=>^^=iJT2i =. 2 X 0,8862,

conformément au tableau et aux formules du ,^ 311,4".