Invariants de la forme quadratique ternaire

/". — Soit la forme f/uadrutir/uc ternaire F :

a.x- + h,,'- + cz'- + 2f;,z + ^yzr + 2/tx,,/. (1 )

Supposons qu'il soit possible de la ramener par une certaine substitution linéaire à la forme <!' :

xVX"-fBY^ + CZ^ (2)

Sur la forme (2), eiïectuons la transformation (o) du § 317 que nous appellerons rotation pour abréger ; elle devient :

A(«x + ,'i;/ + -r^Y + Bj .'.r + ,V;/ + -/.J' + C[."x + ;i> + -/'. ': (d ')

Identifions avec (i) :

,, Aa^ + Ba'^ + Ga"S f^ A^y + Bj^Y + C?"v",

h = Afi^ + B,V-^ + C^"\ il = Ava + Bv'a' + Cya",

c \f + By'^- + Cy'-^ ; h =.. A^ii + Ba'3' + Ca".a".

I^]n vertu des relations (i) et ( t) du |;i 317, on trouve aisément :

i,==..a + y> + cr=A4-B + G,

I, = {Le 4- ca -t- ah) — {p + if + h^) = BG + CA + AB , (3) l, = abc + 2fyh — (ap 4- bff- -\- ch') = ABG.

t^". — Inversement, si les équations (3) résolues par rapport à A, B, C, donnent des racines réelles, il sera possible, par la substitution linéaire (6) du § 317, de ramener K à la forme 'I».

Nous démontrerons plus loin qu'il en est ainsi (§ 333).

/Z". — Pour l'instant résolvons le problème posé. Je dis que les premiers membres des équations (3) sont des invariants de la forme quadratique F pour les rotations (.')) ou (6) du jj 317.

l^n etîet, une rotation R appliquée à F donne une forme F' dont les coefiicients sont a\ b\ c' , ... Mais F' pourrait, tout comme F, se déduire de la forme <ï> par une rotation p convenable des axes. On trouverait les mêmes coefficients a\ b\ c', ... Les relations (3) seront donc encore valables, en remplaçant a, />, c, ... par a', />', c' , ...

Donc les premiers membres de ces équations sont des invariants.

Notre raisonnement repose au fond sur cette proposition (voii Mécanique) , qu'on peut toujours remplacer deux rotations par une

seule équivalente. Pour passer de ^> à F, puis de F à F', il faut appliquer aux axes deux rotations p et R; on peut passer directement de i à F' par une seule rotation p'.