Covariants

La propriété d'invariance se généralise.

Il peut arriver que la fonction o contienne les variables et les coefficients; elle prend alors le nom de covariant :

9(X, Y, Z, ... A, B, G, ...)=ij7/j(.r, //, z, ... a, b, c, ...).

Le mot covariant signifie que les deux membres de l'équation précédente varient simultanément, de manière à rester identiques, quand les variables varient.

Si la forme cp est binaire ou ternaire, égalée à zéro ou à une constante, elle représente une courbe ou une surface. Une substitution linéaire quelconque exprime un changement de coordonnées (passage d'un système d'axes généralement obliques à un autre système d'axes également obliques). Le covariant est l'expression d'une propriété indépendante du choix des axes.

Exemple : par rapport à deux systèmes d'axes de même origine et rectangulaires :

est un covariant. Chacun des termes de l'équation exprime la distance d'un point à l'origine , distance évidemment indépendante du système d'axes.

Autre exemple. La distance d'un point à une droite est évidemment indépendante du système d'axes. Soit x, y^ d'une part, X, Y,

de l'autre les coordonnées d'un point pour deux systèmes d'axes rectangulaires de même origine. Soit :

ax-{-hyz=d, AX4-BY=D,

les équations correspondantes des droites. On a identiquement (§ 29) :

ax-{- by — d AX -fBY— D

C'est un covariant.