Quadriques centrées et non centrées

Soit la forme quadratique :

a.T^ -f bif -f cz-" + 2fyz + 2gzx -f 2hxij -f 2lx + 2mij + 2nz + J = 0.

Par un changement d'origine, cherchons à faire disparaître les termes du premier degré. Transportons l'origine au point de coordonnées ç, '/], ^; remplaçons donc .t, z/, z, par x-\-z^ U -\~'f\i -2 -[- ç.

Les coefficients des nouveaux x, ?/, z, satisfont aux conditions

l'=^a;-{-hr,-\-f/Ç-\-l, m = /i; -]- hr, -\- fl-\-m, n' = ryz-{-fr, + c':-\-n.

Ecrivons qu'ils sont nuls. Les coordonnées ^, y;, Ç, de la nouvelle origine sont déterminées par trois équations du premier degré, dont les racines ont pour dénominateur commun :

I, = ahc + 2frjh — (ar- + iHf- + c/>').

Deux cas à considérer :

/°. — Ig^O; le point ?, r^, Ç, est à distance finie : la surface possède un centre. Effectivement, les termes du premier degré disparaissant, si le point .r, ?/, z, appartient à la surface, le point — X, — ?/, — :;, lui appartient aussi : l'origine est centre de symétrie.

^°. — I, = 0; le point ;, y;, ::, est rejeté à Tinfini. Il est impossible de faire disparaître simultanément les trois termes du premier degré en .r, ?/, z.