Quadriques centrées

En vertu du 5:^ )i32 , nous pouvons remplacer par une somme de carrés la forme quadratique ternaire à laquelle les termes variables se réduisent; d'où l'équation :

/*•. — Ellipsoïdes. — Les quantités A, B, G, sont positives; l'équation prend la forme :

Soit a'^h^c. La surface est limitée dans tous les sens. En particulier, x est toujours inférieur à a, ly à A, z k c. Soit a, 3, Y? les cosinus directeurs d'un rayon vecteur passant par l'origine. On a :

4 >vS oï ^,i

p- c- \c- aV" V^"' ^->'r*

Les parenthèses sont toutes positives. Donc p est nécessairement inférieur à a qui est .un maximum, supérieur à c qui est un minimum.

^". — Hyperboloïdes a une nappe. — Une des trois quantités A, B, G, est négative; l'équation prend la forme :

L'axe des :; ne rencontre pas la surface (fîg. 213 à gauche). On a : Pour que le rayon vecteur issu de l'origine rencontre la surface,

Fig. 213.

il faut que le second membre soit positif. Donc la surface :

ou :

sert de cloison entre les rayons vecteurs issus de l'origine qui rencontrent la surface et ceux qui ne la rencontrent pas.

C'est un cône asympto tique, dont l'origine est le sommet : sur ce cône même, les rayons vecteurs sont infinis.

Les plans parallèles à xOy coupent la surface suivant des ellipses toujours réelles. Les plans parallèles à xOz, y^-'-, coupent la surface suivant des hyperboles dont les asymptotes sont parallèles à des génératrices du cône asymptotique.

La surface est de révolution autour de Oz si l'on a a=^b.

Son équation est alors :

iOC COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

S'\ — Hyferboloïdes a deux îsappes. — Deux des trois quantités A, B, G, sont négatives; Téquation prend la forme :

i;— i:-l=i- (iii)

Ni l'axe des :;, ni l'axe des y ne rencontrent la surface.

Un cône asymptotique sert de cloison entre les vecteurs issus de l'origine qui rencontrent la surface et les vecteurs qui ne la rencontrent pas. La ligure 2V,\ à droite ne représente qu'une des nappes.

Les plans parallèles à jiOz, et dont la distance à l'origine est supérieure A a, coupent la surface suivant des ellipses réelles: elles sont imaginaires dans le cas contraire. Les plans parallèles à yOx et zOr coupent suivant des hyperboles dont les asj'mptotes sont parallèles à des génératrices du cône asymptotique.

La surface est de révolution autour de Ox quand on a Jj = c. Son équation prend la forme alors :

i'. — L'équation : ^--[--,^4- «=0, convient à l'orij^ine; si

l'on veut, elle représente un ellipsoïde évanouissant.

L'équation : ,, -(- yj -|- ^2= — ï- ne convient à aucun point

réel.

/5". — CÔNES. — Les équations :

représentent des cônes: nous les avons utilisés plus haut sous le nom de cônes asyniptotiques.

Coupons les surfaces (IV) par un plan passant par l'origine :

x^^mij -\- nz. (l)

Eliminons .r entre (1) et Tune des équations (IV); nous obtenons une équation homoyène du second degré en // et :;. Résolvons par rapport à y '. z; nous obtenons deux racines /.-, et A- :

y=^h\z, y-=zk.z. (2)

Chacune des équations (2) associée à (!) délinit une droite. Donc l'intersection de (IV) par un plan passant par le sommet (centre de symétrie, origine des coordonnées), se compose de deux droites; elles sont réelles ou imaginaires suivant le choix du plan (1).

L'intersection par des plans parallèles aux plans de coordonnées traite les cônes comme les hyperboloïdes dont ils sont asympto-

Ao:

tiques; à la différence avec les hyperboloïdes à deux nappes, que les ellipses du second cône (IV) sont toujours réelles.

Nous reviendrons sur les cônes aux §§ 420 et suivants.