Quadriques non centrées

i'\ — Reprenons l'équation quadratique générale et, sans chercher à supprimer les termes du premier degré , ramenons les termes du second à la forme : Ax^--[-Bi/--\-Cz-.

Gomme par hypothèse I^^O, l'équation (1) du § 333 a une racine nulle. La forme précédente se simplifie; elle se réduit p£ir exemple à : A.r^-j-B/y-.

Le changement des axes de coordonnées laisse du premier degré les termes qui l'étaient. Nous ramenons donc l'équation générale à la forme : Ax- + B/y- + 2lx + 2m?/ -\-2nz-\-d = 0.

Les nouveaux /, m, n, ne sont pas identiques aux anciens. Déplaçons maintenant l'origine dans le plan xOy; grâce aux deux arbitraires dont nous disposons, nous pouvons faire disparaître les termes en a? et y.

En définitive, l'équation prend la forme : ar

^". — Cylindres. — Soit n = 0. L'équation représente une ellipse ou une hyperbole dans le plan xOy ; elle représente aussi bien un cylindre elliptique ou hyperbolique de génératrices parallèles à l'axe 0^ qui est l'axe du cylindre.

Le cylindre possède comme centres de symétrie tous les points de Oz^ ce qui est géométriquement évident.

On vérifiera que les équations donnant le centre deviennent indéterminées.

Nous étudierons les cylindres aux §§ 418 et suivants.

3". — Paraboloïde elliptique. — Soit 71^0, <^ 0 pour préciser; posons-le égal à — ^ 1 , ce qui ne diminue pas la généralité de la solution. Un glissement de l'origine le long de 0^ fait disparaître le terme constant.

Prenons positif le double signe de l'équation

C'est l'équation d'un paraboloïde elliptique (fig. 214

Fîg. 214.

1): il vient

Les plans parallèles à xOy coupent la surface suivant les ellipses, réelles pour 2 >> 0, imaginaires pour :; <C 0 : elle s'étend donc à l'infini au-dessus du plan xOy.

Les plans parallèles à yOz et j^O^ la coupent suivant des paraboles dont les axes sont parallèles à 0:;, et les sommets sont dans les plans de coordonnées.

Si a=zb, la surface est de révolution autour de 0:^ :

Flg. 215.

/". — PaRABOLOÏDE IIYPEHBOLIQUE.

signe de l'équation (l, :

Prenons négatif le double

a* />« — ^'" L'intersection par le plan xOy (^ n= 0) se compose des droites (fig. 215) :

Les plans parallèles à xOy coupent suivant des hyperboles : pour :; > 0, leurs axes réels sont parallèles à Ox ; pour - <C 0 , ils sont parallèles à Oy . Les sections planes parallèles à xOz et yOz sont des paraboles. La surface ressemble à une selle ou à un col de montagne.

Nous reviendrons longuement sur son étude à propos des conoïdes (§S i4i et suivants).

.7°. — Si la quadrique se réduit à sente deux plans qui se coupent suivant Oz.

elle repré-

SURFACES DU SECOND DEGRÉ i09

Quand a ou h sont infinis, on a l'un des cylindres paraboliques : — y- = 2b-z, x^ =:z 2a^z.