Propriétés générales de la surface. Sections planes

Etudions les propriétés générales de la surface (fig. 216) :

Nous posons a >> j& >> c.

L'origine est centre de symétrie; les plans de coordonnées II, II', n", sont plans de symétrie ; les axes sont axes binaires de symétrie. Ces propositions résultent de ce que x^ y, z, intervenant seulement par leurs carrés, on peut remplacer les valeurs d'une, de deux, ou des trois coordonnées par les valeurs égales et de signes contraires sans que l'équation cesse d'être satisfaite.

La symétrie de Fellipsoïde est donc représentée par le symbole :

Pour que les éléments de symétrie soient plus nombreux, il faut

que l'ellipsoïde devienne de révolution autour de l'un des axes, qui

est alors d'ordre infini. Tous les plans qui passent par lui sont de

symétrie ; toutes les droites menées par le centre perpendiculairement

^ à lui, sont axes binaires de

symétrie.

Si l'ellipsoïde est de révolution autour de deux droites, il Test autour d'une infinité :

c'est une sphère.

L'intersection de Tellipsoïde par un plan P quelconque est une ellipse, puisque c'est une conique (§ 338) qui n'a pas de points h l'infini.

Si le plan P est normal à l'un des plans II de symétrie, la symétrie exige que l'un des axes de l'ellipse soit dans ce plan II ; par suite, l'autre se trouve dans le plan de symétrie H' normal à II.

Si le plan P passe par l'un des axes L (qui est axe binaire pour la surface), L est Taxe de la conique d'intersection ; car il est axe binaire pour cette conique.

Tout plan passant par le grand axe (^de longueur a) donne des ellipses allongées suivant cet axe. Tout plan passant par le petit axe (de longueur c) donne des ellipses aplaties suivant cet axe.

Etudions de plus près les sections par les plans passant par l'axe moven.

FIg. 216.

Puisque les sections par des plans parallèles sont semblables, pour déterminer s'il existe des sections circulaires, limitons-nous aux sections par des plans passant par le centre 0.

Soit r le rayon du cercle d'intersection dont l'existence est supposée. Il est sur sa sphère :

Par hypothèse, il est aussi sur l'ellipsoïde :

Tout système de valeurs x ^ y , z, qui annule simultanément S et

SURFACES DU SECOND DEGRE 41 i

E, annule S — E (Gonf. § 88). Donc le cercle cherché est aussi sur le cône :

Par hypothèse, il est sur un plan (d'intersection). Donc le cône G doit se décomposer en deux plans ; par suite, il faut que le coefficient de l'une des variables s'annule, autrement dit que les plans qui donnent des cercles (il résulte de ce qui précède qu'ils sont deux , à les supposer réels) passent par l'un des axes. D'après le paragraphe précédent, ce ne peut être que par l'axe moyen.

Faisons donc r=^h\ il vient :

tffi

Les sections circulaires forment donc deux systèmes de plans, parallèles aux plans P^P», que nous venons de déterminer. Geux-ci passent par Taxe moyen de l'ellipsoïde et respectivement par deux droites OA, OA', de longueur i>, situées dans le plan icOs et symétriques par rapport à 0^.

Supposons que le plan d'intersection parallèle à P^ s'éloigne du centre. Pour une certaine position, il est tangent à la surface : un peu avant, il la coupe suivant un cercle infiniment petit. Les points de contact jouissant de ces propriétés s'appellent ombilics (§ 460). L'ellipsoïde a donc quatre ombilics réels.