Plans diamétraux et diamètres

1"". — Goupons l'ellipsoïde par la droite :

Déterminons le milieu de la corde d'intersection. Eliminons x et y entre (1) et l'équation de l'ellipsoïde E = 0.

Nous obtenons une équation du second degré en z :

Les racines z^ et z^^ de cette équation correspondent aux extrémités de la corde. Le :; du point milieu est {z^-\- z^) : 2. Ceci posé, soit l'équation :

A2^ + B2-f G = 0; on a (§ 41) :

Appliquons ce résultat à lequation (2) ; on trouve la condition :

7?^+-;?k+^)^+7i-[/'-T]+wt-^r]=^' '^)

qui, jointe aux équations (1), résout le problème posé.

^". — Imaginons maintenant que la droite (1) conserve une direction invariable (/, m, n, constants), mais se déplace [p, y, r, variables). Nous demandons le lieu des milieux des cordes.

Pour le trouver, éliminons jd, 7, r, entre les équations (1) et (3).

^ . , ,., ri Iz rm mz

On tire de (1): ;>-~=-r -, 'J - IT ^V ^ ir '

Multiplions les deux membres de (3) par /<-. Substituons les valeurs précédentes ; il vient :

â, + -îT + ^ j^ + ^ ("^ - l-^l + p (".'/ - ntz) = 0,

C'est un plan, passant par le centre, quon appelle plan diamétral conjugué de la direction /, m, n.

3**. — Inversement, coupons rellipsoïde par des plans parallèles à (4). Je dis que les centres des ellipses ainsi déterminées sont sur la droite :

qui sera le diamètre conjuf/ué des jdans dont la normale a les cosinus directeurs proportionnels à l \ a^, m ; />-, n \ c*.

Pour démontrer ce théorème, coupons rellipsoïde par le plan :

Ix mi/ nz

La projection de l'intersection sur le plan yOz est : /ad am an \- y» 3*

Nous avons déterminé au § 103, iî?' les coordonnées du centre d'une conique. Uemplavons les petites lettres par de grandes pour éviter la confusion. On trouve que pour la conique :

M.v^ + ^z-' + 2Pijz 4- 2Qi/ + 2S.3 + T = 0 ,

les coordonnées //„ et z^^ du centre sont :

NQ — PS MS — PQ Zq MS — PQ

2/0— p.MN ' ^"— P^ — MX ' y, — NQ — PS •

Pour démontrer le théorème, il suflit de calculer M, N, P, Q. S, pour la conique (tJ), et de vérifier qu'on a :

n MS — PQ m — NQ — PS •

Ce qui ne présente aucune difficulté.