Involution

/". — Les divisions homographiques de deux droites superposées sont en involution, lorsque les foyers coïncident : A = 0 (§ 349). Les distances ç, ;', de la formule :

ont alors même origine. 11 résulte de là qu'un point P considéré successivement comme appartenant aux deux droites superposées D et D', a dans les deux cas le même conjugué.

Dans le cas général, s'il appartient à la droite D^ on a :

FP'.KPy =/-/';

s'il appartient à la droite D', on a :

FPr. FT =/•/•'.

Nous définissons ainsi généralement deux points différents P'^ et F^. Ils ne sont confondus que si F coïncide avec F' ; on a alors :

FF

FP, r=F'P;==rFP; .

S''. — Construction des deux systèmes de points.

Soit A et A', B et B', quatre points deux à deux correspondants : menons par un point P deux circonférences passant respectivement par ces points. Elles se coupent en Q. Joignons P et Q ; la droite PQ détermine sur D le point F qui est le foyer de Vinvolut'ion. En elîet, d'après les propriétés des sécantes et tangentes au cercle (j^ 327), on a :

KA^ . FÂ'^= FB . Fir= FT *.

Donc D, et D. sont les points doubles. Ils sont imaginaires si P et Q sont de part et d'autre de la droite D.

,9". — Elevons une perpendiculaire à la droite D au point F. Joi-

Flg. 224.

gnons un de ses points à deux points conjugués quelconques de l'involution. Les droites ainsi obtenues font avec elles des angles a et a satisfaisant à Téquation :

tga . tga' = Constante. (\)

Nous savons (j^ 120) qu'ainsi sont reliées entre elles les pentes des diamètres conjugués de l'hyperbole et , au signe de la constante près, ceux de l'ellipse.

Grâce à l'involution, nous pouvons discuter aisément la manière dont tournent, l'une par rapport à l'autre, deux droites dont les pentes sont liées par la condition (1).