ÂC . BC AD * BD

On appelle rapport anharmoique de quatre droites concourantes

a, g, "^,5, le rapport :

&in(aY) - ^LiËl)

'^*~~ sin(ae) • sin(^S *

ces rapports sont égaux si les droites a,^,Y,à, passent par les points A. B,C,D, quel que soit le point de concours S.

Kn effet, les triangles de sommet S qui ont même hauteur p^ ont des aires proportionnelles à leurs bases.

On a de plus

tieux fois Taire du triangle SA(] ^=: ;ic si n (arvi, A ainsi de suite. Substituons dans (l) les aires aux bases correspondantes; i! ^^ent :

AC , BG ac sin(aY) . ^>c'sin(PY) sin(aY) . •''^^ (Pï)

AD * BD ''^(f sin {oLz) ' />V/~sinTpt} si'n (a$) * sin (pa) *

Il résulte de cette équation que le rapport anharmonique déterminé par quatre droites a, ^, y, ^, sur une transversale ACdU), est constant et indépendant de la transversale choisie.

î^". — Quand deux systèmes de points sont cMtnjiigues h<>nn»gr;iphi- ([uement, le rapport anharnioiiicjue de (juatre points du premier .système est égal au rapport anharmoni((ue des conjugués dans le second.

Pour démontrer commodément cette proposition, on prendra les foyers pour origines (g 347).

,f\ — Réciproquement, soit trois points fixes sur une droite D, et trois points conjugués sur une droite D'. Conjuguons deux points mobiles P et P' de manière (jue les rapports anharmoniques des quatre points (trois fixes, un mobile) pris sur chaque droite soient égaux entre eux pour toutes les positions de P et P' (ce qui ne signifie pas qu'ils restent invariables) : les points P et P' sont conjugués homographicjuement.

"/". RAPPORT HARMOXIQCE.

Le rapport anharmonique devient harmonique lorsqu'il est égal à — l ({^ 86).

Soit A et B deux points fixes sur une droite ; conjuguons deux autres points G et D mobiles de manière que le rapport soit constamnient harmonique; nous obtenons une involution dont A et B sont les points doubles.