Fonctions continues, fonctions discontinues

/°. — Il est clair qu'un corps ne passe pas d'une température t^ à une température t^ sans passer par toutes les températures intermédiaires. Ce n'est pas qu'on puisse alléguer de cette proposition une démonstration en forme y mais nous ne concevons pas la proposition, inverse.

Il est moins clair qu'un corps ne passe pas d'une vitesse à une autre vitesse sans passer par toutes les vitesses intermédiaires ; quand

on choque une bille, il semble que la vitesse passe brusquement de zéro à une valeur maxima. Mais tout est de s'entendre sur le sens du mot souligné. Quand on attelle une locomotive à un train, on voit bien que le coup de tampon ne produit pas une variation brusque de la vitesse du train : les ressorts des tampons sont fléchis, puis ils réagissent : on peut, du reste, déterminer la loi de variation de la vitesse.

Voici donc des quantités dont les variations sont continues, en ce sens qu'elles ne passent pas d'une valeur à l'autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Pour représenter une fonction 1/ de la variable x^ traçons deu^ axes de coordonnées 0^, 0//, rectangulaires pour préciser. Prenons

Fig. 1.

sur Ox une longueur x = 0^ , égale à une valeur de la variable ; suivant ;/ = ^D, portons la valeur correspondante de la fonction. Chaque groupe X, î/, de valeurs détermine un point du plan. Rien n'empêche qu'au même x correspondent plusieurs valeurs différentes de 1/, et inversement qu'au môme y correspondent plusieurs valeurs de X.

Nous obtenons ainsi une série de points. Il est bien évident que nous ne pouvons matériellement en déterminer qu'un nombre fini.

Si la fonction à représenter est continue^ ces points pourront être , sinon matériellement déterminés, du moins conçus comme aussi rapprochés qu'on voudra ; ils formeront une courbe.

Il faut bien distinguer la courbe expérimentale avec toutes ses imperfections, avec ses inévitables ressauts et son épaisseur, de la courbe idéale sans épaisseur; la première n'est que le signe graphique et conventionnel de la seconde. Mais cette représentation , pour grossière qu'elle soit, est un admirable outil d'intuition : il per-

Fortune

Temjps

Fig. 2.

met de comprendre d'un coup d'œil ce qu'une page de raisonnements embrouillerait.

^°. — Certaines fonctions ne sont évidemment pas continues. La fortune d'un négociant, par exemple, résulte d'une série d'opérations en nombre fini ; chacune d'elles ajoute à l'actif ou au passif une somme évaluable en centimes. Si donc nous portons en abscisses les temps, en ordonnées la valeur de la fortune, la représentation consistera en une série de points isolés ABGDE... que rien n'autorise à réunir par un trait continu. En fait, on les joint par des droites pour la commodité de l'œil , afin qu'il suive plus aisément l'ordre dans lequel les points doivent être pris.

La population d'un pays croît ou décroît par unités. Un tas de blé est composé d'un nombre fini de grains tout de même qu'un tas de farine. Nous croyons pouvoir augmenter ce tas d'une manière continue , parce que nous donnons au mot continu un' sens large qui n'est pas le sien, ou parce que nos moyens de mesure ne sont pas assez perfectionnés. Mais il est évident que si nous prenons le nombre de grains pour variable et le poids du tas pour fonction, la représentation consistera en un nombre fini de points isolés.