Lignes de plus grande pente

^"- — Les lignes de -plus grande pente coupent normalement les lignes de niveau, comme il résulte immédiatement de la construction des lignes d'égale pente. Les lignes de niveau étant horizontales, les projections horizontales des hgnes de plus grande pente coupent à angle droit les projections (en vraie grandeur) des lignes de niveau. Nous sommes donc ramenés à la recherche d'un faisceau de courbes orthogonales à un faisceau donné (§§ 238 et suivants). ^^^-Soit : f{x,y)=z,

l'équation de la surface. Les lignes de niveau satisfont à la condition : (/3=rO, pdx-\-c/dtj = 0.

Fig. 25^1

COURS DE MATHÉMATIQUES frÉ.\ÉRALES

L'équation différentiolle dos projections horizontales des lignes de plus <2^rftnde pente est, par suite (^ 77

qdx — pdy =0.

,f'. — Si, par exemple, les homotkétiques : s ib

elles satisfont à la condition :

|)lus «^^rande pentt

lig'nes

de niveau sont des coniques

Les lignes de

riU- ydy a' — /)* sont définies par l'équation (lig. 255

où .r^,, //„, sont

les c'ooi'donnécs

loof-- ^ />

n- loir

nie est un

touti

les liy-nes y

un point où <ioit passeï- la ligne à considérer. Dans le cas des ellipses (signe supérieur), l'oripoint d'arrêt :

houtissent sous des angles dilFérents et s'arrêtent brusquement. Dans le cas des hyperboles . les lignes de plus grande pente admettent les axes comme asymptotes ; clK's sont naturellement noiniales aux asymptotes communes à toutes les hyperboles, asymptotes (pii t'ont partie du faisceau d'hyperboles.

/". — V\\ mobile glissant sur la surface (supposée polie ) part suivant une ligne de plus grande pente ; mais il la quitte dès que sii vitesse cesse d'êtj*e nulle, à moins que la ligne ne soit plane et verticale. Il ne suffît même ^>as qu'elle soit ilans un plan vertical ; dans ce cas, le mobile reste bien dans le plan de la ligne , mais non en contact permanent avec elle. Si, par exemple, à une pente faible succède brusquement une pente forte, il peut arriver, si la vitesse du mobile est assez grande

Fig. 25:).

rpiil s'échappe suivant une courbe moins inclinée.

SURFACES. COUBBES TliACEES SUR LES SURFACES 471