Surfaces moulures

/". — Une surface de révolution dont l'axe est parallèle à Oz et passe par le point P du plan .rOy de coordonnées a, fi, a- pour écpiation [^ 378) :

la fonction arbitraire ^V définira la surface particulière à laquelle on a affaire (fig. 263).

lilliniinons a, ^, entre (l) et les éijuations obtenues par dérivation :

2{x^o.)==r'p. 2{y-~^) = Wr/. (2)

11 vient : (/r 4-7^)H*'* = 4T,

que nous pouvons écrire, en changeant de fonction arbitraire :

L'équation aux dérivées partielles (3) exprime cette propriété commune là toutes les surfaces (i) que l'inclinaison du plan tangent sur le plan xOy (^ 373) ne dépend (pie de la hauteur du point de tangence au-dessus de .rO^. Nous généralisons ainsi les théorèmes du paragnqihe antép recèdent.

î^"\ — Moulures. — Etablissons une relation ^=f[x), entre a et ^. C'est dire que la surface de révolution se déplace en restant identique à elle-même, de manière que son axe engendre un cylindre parallèle à Oz et qu'un point de cet axe décrive une courbe QPS du plan xOy. Les surfaces de révolution sont enveloppées par une surface qu'on appelle surface moulure ou plus simplement moulure.

SURFACES. COURBES TRACEES SUR LES SURFACES 481

Deux enveloppées voisines se coupent suivant une courbe caractéristique définie par l'équation (1) et par Féquation :

obtenue en donnant k a, par suite à ^, un petit accroissement. L'équation (5) représente un plan parallèle à 0:;, passant par Taxe de révolution de l'enveloppe considérée, enfin normal au cylindre décrit par cet axe.

La caractéristique est donc une méridienne de la surface de révolution.

Pour obtenir l'équation de la moulure, il faut éliminer a entre (5) et (1), après avoir remplacé g par sa valeur /"(a). La moulure satisfait évidemment à l'équation aux dérivées partielles (3), puisqu'étant l'enveloppe de surfaces (1), son plan tangent jouit des propriétés des plans tangents aux enveloppées.

S'\ — Moulure générale. — Généralisons la définition. Supposons que l'axe de révolution roule sans glisser sur une courbe k doul)le courbure, par suite engendre une surface développable (voir jj 415). La surface de révolution, constante de forme et de grandeur, parcourt un espace dont la surface limite est une moulure (jénérale.

Dans le cas précédemment traité, la surface développable est un cylindre ; la courbe k laquelle l'axe reste tangent, s'évanouit en un point k l'infini sur Oz.

On vérifiera que, dans le cas général, la caractéristique est encore une méridienne dont le plan est normal k la surface développable.

Gomme cas simple , on supposera que l'axe de révolution est astreint k décrire un cône.