Sections inclinées passant par le centre de symétrie

Sans diminuer la généralité du problème, nous pouvons mener le

plan d'intersection par l'axe Oi/ ; les coordonnées y ne sont pas modifiées. Il existe entre les anciennes coordonnées x,z, et les nouvelles X,Z (fig. 260), les relations (§ 78) :

ic = X cos oc 4" -^ sin a, z- = Xsina — Zcosa.

Pour trouver l'équation de l'intersection, substituons à j^ et à ^ leurs valeurs en fonction de X et Z, pais posons Z = (i. Il vient :

{}jX^cos'a-\-y^ — i^y + X^ sin^ a = R-.

(X-^ 4- y^y + 2 (ijr — R' '2-^:~ cos^ x) X* — 2 (a'- + R*) y'-

+ (lx^-R^)* = 0. (3)

En particulier, prenons pour plan d'intersection le plan hitangent BOB'. L'angle a. est déterminé par les relations :

sin 3r = R ;

cos a = y p.* — R* ;

Fig. 261.

On vérifiera que la courbe d'intersection se décompose en deux cercles d'équations :

(y±R)' + .V = ix».

Cela revient à dire que le premier membre de l'équation (3) peut se mettre sous la forme :

[(y + K)'- + X' - .^^J [{y R)^ + X' -- IX'] .

L'intersection se compose donc de deux cercles égaux, dont la figure 201 montre les projections elliptiques sur le plan xOy. Leur rayon est égal à jj, ; leurs centres V et F' sont sur Oy à une distance R du centre de svmétrie.

SURFACES. COURBES TRACEES SUR LES SURFACES

il9

5°. — Remarque sur les plans TANGKNTiâ.

Le tore nous permet de préciser nos idées sur les plans tangents. Par définition (5:^ 322), le plan tangent à une surface en un point U renferme le point U et tous les points infiniment voisins. Rien rie rempêche de renfermer en outre une infinité de points à distance finie: en d'autres termes, il peut couper la surface suivant une courbe plus ou moins compliquée. C'est ce qui arrive pour les surfaces qui ne sont pas convexes en tous leurs points.

Nous reviendrons là -dessus quand nous parlerons des surfaces réglées et de la courbure des surfaces. Pour l'instant, bornons-nous à considérer le cas du tore. Puisque la surface est de révolution, les plans tangents sont normaux aux méridiens ; pour les points du méridien représenté dans la figure 260, ils sont normaux au plan du tableau.

Si le point de tangence U est sur le demi-cercle TUV , le plan tangent 1 ne renferme qu'un point de la surface et les points infiniment voisins.

Si le point de tangence est V, le plan tangent 2 est tangent au tore pour tous les points d'une circonférence de rayon \}. (398, 4°).

Enfin si le point de tangence est en W sur le demi-cercle VWT,

le plan tangent coupe la surface suivant une courbe qui possède toujours un point double en W. Elle se déforme pour aller de la circonférenee unique I, à la double circonférence III étudiée au -^", enfin à la lemniscate V étudiée au ^".

Le lecteur réfléchira à la façon dont le passage s'effectue entre des formes en apparence aussi difficiles à ranger dans une série continue. La figure 262 montre les courbes II, III, IV, obtenues quand le plan tangent est de part et d'autre du plan bitangent. On passe de I à II par dédoublement, de IV à V par redressement.

Tous les plans tangents le long d'un parallèle enveloppent évidemment un cône de révolution d'axe Os. Si le tore est fermé, le sommet du cône peut être sur la surface : c'est un point conique (voir plus haut, fig. 257).