Hélices coniques; loxodromies coniques

/". — Au§41o, t? , nous montrons que dans le développement d'une surface développable les angles se conservent. Au S 201 , nous établissons que la spirale logarithmique fait un angle constant avec le rayon vecteur issu d'un certain point S (pôle).

Reliant ces deux propositions, nous concluons que pour obtenir les hélices coniques^ courbes faisant avec les génératrices d'un cône quelconque un angle constant, il faut tracer dans un plan un faisceau de spirales logarithmiques admettant S comme pôle , couper le plan suivant une demi-droite aboutissant en S, puis l'enrouler en forme de cornet quelconque admettant S pour sommet.

'2'*. — Les hélices coniques comprennent les loxodromies coniques. Au § 409, nous définissons les loxodromies des surfaces de révolution : elles font avec tous les méridiens un angle invariable.

Pour obtenir une loxodromie conique , il suffit donc de déformer le cornet jusqu'à obtenir un cône de révolution.

Gomme ces courbes sont utilisées dans la Théorie de la Conductibilité (Étude des symétries, § 235) , nous en dirons quelques mots.

Reprenons les notations du § 422.

L'équation de l'hélice sur le cône est :

On a : poU = To a, 7' = p cos^(.

D'où : r = cosy . exp (/coccos y).

La projection de Vhélice sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône est une nouvelle spirale logarithmique.

On peut donc considérer les loxodromies coniques comme obtenues par l'intersection du cône par des cylindres dont les génératrices sont parallèles à l'axe du cône et s'appuient sur des spirales logarithmiques tracées sur un plan normal à cet axe.

On démontre aisément que l'hélice conique coupe sous un angle constant les génératrices de ce cylindre. Elle est donc aussi bien une hélice cylindrique générale [% 413); d'où le nom d'hélice cylindroconique qu'on lui donne quelquefois.