Surfaces réglées; congruences, complexes de droites

Suit les équations d'une droite (,^ 323) :

ou encore

x=:p-\-lt, y^=q-\-mt, ZT=r-\-nt. (1)

Quand les quantités /, m, n, />, y, r, dépendent d'un paramètre «, les ct)ordonnées x, y, z, sont exprimées en fonction de deux variables u, t. Les équations (1) représentent une surface évidemment repliée, c'est-à-dire constituée par les positions successives d'une droite (jui se déplace. Si u est constant et t variable, on décrit une génératrice ; si u est variable et t constant, on décrit une certaine courbe empruntant un point à cbaque jjpénératrice.

Quand les (piantités /, m,.... dépendent de deux paramètres u, d, on a une conymence de droites. Chaque point A de l'espace est traversé ])ar une ou plusieurs droites de la congruence.

Remplavons a\ î/, j3, par les coordonnées du point A ; nous avons trois é( [nations à trois inconnues u, u, /, qui sont ^généralement satisfaites par un nombre fini de valeurs de ces variables.

Quand il existe trois paramètres, on a un complexe de droites. Cha(jue point de l'espace est le sommet d'un cône dont les génératrices appartiennent au complexe.

S'il existait plus de trois paramètres, toutes les droites possibles appartiendraient au système de droites. Nous n'aurons à considérer par la suite que des surfaces réglées et des congruences.

429. Relations de deux droites voisines d'un système de droites.

Soit les équations de deux droites voisines :

x=^p-[-lt, y=zq-\-mt, z = r-\-nt\

x=p-\-dp + {l-{-dl)t, y=qJ^dqJ^{m-\-dm)t,

z=::{r + dr) + {n + dn)t.

Posons : A rr= mcM — ndm, B = ndl — Idn, C^ldm — mdl.

/". — Déterminons l'angle 8 des deux droites. Nous ne pouvons pas nous servir du cosinus de cet angle, car le cosinus d'un angle petit est égal à l'unité, aux quantités du deuxième ordre près. Nous utiliserons donc la formule donnant sin 6 = 0 (§ 316, ^"j ; on trouve en négligeant les quantités infiniment petites devant les quantités finies :

yA^ + B-^ + ç.

î^". — La plus courte distance des deux droites est immédiatement donnée par la formule du § 327 :

^^Adp + Bdq + Cdr

On ap23elle paramètre de distribution le rapport :

1 ( A(/p + Bdq + Cdr) {l^-{-m^-\- /i^) ,^^

C'est généralement une quantité finie.

S". — Calculons les cosinus directeurs X, \)., v, de la perpendiculaire commune. On a ()j 28) :

/X|/na + «v==0, [l -\^ dl)},-^ {m + dm) ix-{- {n-\- dn) V = 0.

D'où : \=^~=-

4". — Enfin déterminons le point I où la perpendiculaire commune touche les génératrices. Il est caractérisé par une certaine valeur de la variable t. Appliquons les formules du § 328 ; elles deviennent, aux quantités négligeables près :

Pj = P = mdr — ndq, Qi z::^ Q = ndp — Idr, Ri = R = Idq — mdp ;

, AP + BQ + CR

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 33

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