Congruences ; caustiques

Quand les droites forment une congruence, les (juantités /, m, n, />, r/, r, dépendent de dvxw paramètres //, ?\ Tout point de l'espace appartient à une ou j)lusieurs droites du svstème.

Le j/roblème est (Je (jrouper ces li(/nes de la manière l;i jdus commode.

/". — Demandons-nous d'aboid si Ton ne pourrait pas effectuer ce gi()uj)ement de manière (pie la distance d'une génératrice aux génératiices voisines du même (jroupe soit nulle, ou soit infiniment petit d'ordre supérieur par rapport aux variations du^ di\ prises comme iiilininuMil petits principaux. Nous devons écrire (§ 429) I

$=-(), \dp-\-\\dfi-\-Cdr=^). (1)

Un a :

A = m ( ^,, ,lu + ^ ./rj - „ ( ^^^ ,lu + -^ dv) ;

Effectuant les calculs, l'écpiation (1) se met évidemment sous la forme suivante, du second degré en r/w, dv :

.Idu'- -f îJ.^(/t'- -f Cdu dr = 0.

Nous avons donc généralement, pour chatjue système de valeurs de u et de r, deux valeurs du rapport du ', dv qui annulent c. Mais, nous donner u et v, c'est choisir une droite D du système. Prendre une valeur du '. dv, c'est grouper autour de D certaines droites du système. Nous venons donc de démontrer (ju'il est possible de choisir, ])armi les droites voisines de D, deux systèmes pour chacun desquels la plus courte distance c s'annule. Ce qui revient à dire que chacun de ces systèmes forme un élément de surface développable, ou que les droites de chacun de ces systèmes sont tangentes à un élément de courbe gauche, arête de rebroussement de la surface développable.

SURFACES REGLEES NOX DE VELOPP ARLES 519

Le lecteur réfléchira sur le raisonnement précédent ; il éclaire ce que sig-nifie la locution si souvent employée dans les pages précédentes, que pour les surfaces développables , les génératrices voisines se coupent. Nous supposons que leur position dépend d'un paramètre ; nous comparons la distance S de deux génératrices à la variation A du paramètre ; nous disons que les génératrices se coupent si le rapport c ! A tend vers zéro quand A s'annule.

^° Chaque droite D du système fait donc partie de deux surfaces développables , ou, ce qui revient au même, est tangente à deux courbes gauches. On appelle foyers les points de tangence, et surface caustique la surface à deux nappes lieu de ces foyers. Elle est à deux nappes, puisque sur chaque droite il y a deux foj^ers.

On peut encore dire que les surfaces caustiques sont engendrées par les arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables; d'où résulte que toute droite du système est tangente à l'une et à l'autre nappes de la caustique.

Nous n'en dirons pas plus long sur les congruences que nous retrouverons plus loin sous un aspect plus concret. Les droites normales à une surface forment en effet une congruence. Nous voulions seulement donner au lecteur une idée de la nature du problème général des systèmes de droites.

Conoïdes.