Paraboloïde hyperbolique

/". — Soit f[x, ?/, :;) = 0, l'équation d'une surface. Coupons par la droite :

x=ilz-\-p, yz=mz-\-q. (1)

52 i COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

Eliminons x et y entre ces trois équations; nous obtenons une équation en z qui fournit les coordonnées z des points d'intersection. Pour (|ue la droite soit située tout entière sur la surface , il faut cjue l'équation en z soit indéterminée : il faut donc que les coelïicients de toutes les puissances de z (la puissance zéro comprise) soient nuls.

On obtient ainsi certaines relations entre les paramètres l,p^m^q; pour que la surface soit réglée, il faut ({ue ces relations soient compatibles et que les solutions soient réelles.

^". — Appliquons au paraboloïde hyperbolique (§ 337,-/°).

Son équation est : — ^-

L'équation en z est :

(Iz+pY

D'où les conditions :

/- /?i« Ip

u- ~ Ir ' a-

On y satisiait en ])()sanl :

il —— h '

D'où les é((uations des génératrices, où / est le paramètre

variable :

a ~~ii^'ir — b a " 21 '

En retranchant les carrés de ces é(juations, on retrouve celle du paraboloïde. Il y a deux systèmes de génératrices qui correspondent à l'un ou l'autre signe. On se reportera au § 337, où les propriétés générales du paraboloïde sont étudiées.