PARALLÈLE A UN PLAN P
Prenons pour axe Oz la direction B ; pour axe 0?/, Fune des génératrices ; pour plan xOy le plan directeur P, enfin pour plan zOx un plan parallèle à la directrice A (fig. 281).
Les équations des projections A' et A" de la directrice A sont :
y = ÔDa, x = mz.
Cherchons les projections de la génératrice MN.
La projection sur xOz est parallèle à ()x d'après renoncé. On a z = \\ par suite, les coordonnées du point P sont :
Les coordonnées du point N sont :
x=zm'A, // = '', z=^\.
Donc Téfjualion de OE projection de MN sur .tO?/ est :
y [ a=:x ', mX.
La surface réglée est définie |)ar cette équation et par z = \,
où A est la variable.
l^]li minons ce paramètre ; il reste :
mi/z = nx.
La surface est du second dej^ré ; elle n'a pas de centre ; ce n'est pas un cvlindre paraholiqiK»
Donc c'est un paraholoïdc hfiperholiffuc.
Il résulte immédiatement de ce mode de g^énération qu'une génératrice d'un des systèmes découpe sur deux f/énératriccs de l'autre système des longueurs proportionnelles : réciproquement^ si une droite molnle s'appuie sur deux droites fixes en y découpant des longueurs proportionnelles, elle reste parallèle à un plan et engendre un paraboloïde hyperbolique.
^'\ — La DU01TI-: s'apitie sik trois droites paralt.èles a in plan p. Prenons Iji directrice A comme axe Oz, le j)lan P comme plan .r(^3, une position de la génératrice comme axe O// ; enfin choisissons arbitrairement l'axe O.c (fîg. 2ST .
On ;i pour écpiations des projections des directrices :
B', y = a ; B ', 3 r= mx ;
C, // = h ; G", r. = nx.
Donnons-nous la projection OG' d'une génér.atrice quelconque G : x=z\y. Gherchons l'écpiation de la projection G" sur le plan xOz. Les coordonnées du point M' sont :
Fig. 2S1.
Xo = "ka .
SURFACES REGLEES NON DEVELOPP ARLES
Celles du point M qui appartient à la directrice B , sont :
Xq = \a , iJq = a, Zq = mxQ = m a\ .
Les coordonnées du point N' sont :
Celles du point N qui appartient à la directrice C, sont :
Xi=z'/Jj^
nx. z=znl)l.
Kig. 2S2.
Ecrivons que la projection G' de G passe par les projections des
, , ^. X — la z — inaX
ponits M et N : . , :^ — = — r^ ^ .
^ /J) — Ati riDK — mal
Eliminons 1 entre cette é(piation et x=zlj/ :
{y^ — aij) [nh — ma) = [zx — mai/) (/> — a).
La surface est une quadrique dépourvue de centre ; elle contient des droites non parallèles. C'est un paraholoïde hyperbolique.
